上海复旦附中高三上学期第一次月考数学试题 2.docx

高三数学拓展课01
2019.9.12
一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1. 已知全集，集合，则集合____________.
2. 已知函数，则方程的解____________.
3. 已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数____________.
4. 无穷等比数列的前项的和是，且，则首项的取值范围是____________.
5. 已知虚数满足，则____________.
6. 展开式的二项式系数之和为256，则展开式中的系数为____________.
7. 已知的内角、、所对应边的长度分别为、、，若，则角的大小是____________.
8. 学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人不在同一个食堂就餐的概率是____________.
9. 若数的标准差为2，则数的方差为____________.
10. 如图，在矩形中，点、分别在线段、上，且满足，若，则____________.
11. 已知，当时不等式恒成立，则实数的最大值是____________.
12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，若直线与函数的图像恰有11个不同的公共点，则实数的取值范围为____________.
二、选择题（每题5分）
13. 下列四个命题中，为真命题的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
14. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上递增的是（）
A. B. C. D.
15. 设是两个单位向量，其夹角为，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
16. 设是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）
A. B.
C. D.
三、解答题
17. （本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）
如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。已知金字塔的每一条棱和边都相等。
（1）求证：直线垂直于直线；
（2）若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？
18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数，其中；
（1）根据的不同取值，讨论的奇偶性，并说明理由；
（2）已知，函数的反函数为，若函数在区间上的最小值为，求函数在区间上的最大值
19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知椭圆的焦距为，且右焦点与短轴的两个端点组成一个正三角形。若直线与椭圆交于、，且在椭圆上存在点，使得（其中为坐标原点），则称直线具有性质。
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线垂直于轴，且具有性质，求直线的方程
20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知，函数；
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围
21. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数，若存在常数，对任意都有，则称函数为倍周期函数；
（1）判断是否是倍周期函数，说明理由；
（2）证明是倍周期函数，且的值是唯一的；
（3）若是2倍周期函数，，表示的前项和，，若恒成立，求的取值范围
参考答案
1、
2、1
3、2
4、
5、
6、-56
7、
8、
9、36
10、
11、-2
12、
13-16、CCAC
17、（1）证明略；（2）
18、（1）当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数；（2）
19、（1）；（2）或
20、（1）；（2）或或；（3）
21、（1）不是；（2）；（3）