高中数学 第2章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 课时作业16 合情推理 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题.doc

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课时作业16合情推理

知识点一归纳推理
1.观察下列不等式：
1＋eq\f(1,22)＜eq\f(3,2)，
1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＜eq\f(5,3)，
1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(7,4)，
…
照此规律，第五个不等式为()
A．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＜eq\f(9,5)
B．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＜eq\f(11,6)
C．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)＜eq\f(9,5)
D．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)＜eq\f(11,6)
答案D
解析观察每行不等式的特点，知第五个不等式为1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)＜eq\f(11,6).
2．如图所示，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层，第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问题：

(1)按照要求填表：
n1234…Sn136…(2)S10＝________.
答案(1)10(2)55
解析S1＝1，S2＝3＝1＋2，S3＝6＝1＋2＋3，
推测S4＝1＋2＋3＋4＝10，
S10＝1＋2＋3＋…＋10＝55.
知识点二类比推理
3.在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有eq\f(T20,T10)，eq\f(T30,T20)，eq\f(T40,T30)也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．可类比得到的结论是______________________．
答案数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300
解析因为等差数列{an}的公差d＝3，
所以(S30－S20)－(S20－S10)
＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)

＝100d＝300，
同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，
所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.
即结论为：数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.
4．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
解如图①所示，由射影定理得

AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，
所以eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)
＝eq\f(BC2,BC·BC·BD·DC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).
又BC2＝AB2＋AC2，所以eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).
类比猜想：
四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).
如图②，连接BE交CD于F，连接AF，

因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，
所以AB⊥平面ACD，
而AF⊂平面ACD，所以AB⊥AF，
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
所以eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2)，
易知在Rt△ACD中，AF⊥CD，
所以eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，
所以eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，猜想正确.
知识点三归纳和类比推理的应用
5.鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木