概率论与数理统计第14讲.ppt

概率论与数理统计第14讲第四章随机变量的数字特征前面讨论了随机变量的分布函数,从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性.但在许多实际问题中,人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况,而只要知道它的某些数字特征即可.例如,在评价某地区粮食产量水平时,通常只要知道该地区粮食的平均产量;又如,在评论一批棉花的质量时,即要注意纤维的平均长度,又要注意纤维长度与平均长度的偏离程度.实际上,描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义,它们能更直接,更简洁,更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.本章将要讨论的随机变量的常用数字特征:数学期望,方差,相关系数,矩.§4.1数学期望首先从一个例子说起现在要计算这个班的学生的平均年龄第二种办法是统计的办法,实际情况更有用当然,统计平均值X与准确计算的平均值EX还可能有差距,但是当试验次数趋向于无穷时,统计平均值X就趋近于数学期望EX了.一,离散型随机变量的数学期望平均值是日常生活中最常用的一个数字特征,它对评判事物,作出决策等具有重要作用.例如,某商场计划于5月1日在户外搞一次促销活动,统计资料表明,如果在商场内搞促销活动,可获得经济效益3万元;在商场外搞促销活动,如果不遇到雨天可获得经济效益12万元,遇到雨天则带来经济损失5万元;若前一天的天气预报称当日有雨的概率为40%,则商场应如何选择促销方式?显然商场该日在商场外搞促销活动预期获得的经济效益X是一个随机变量,其概率分布为 P{X=x1}=P{X=12}=0.6=p1, P{X=x2}=P{X=-5}=0.4=p2,要作出决策就要将此时的平均效益与3万元进行比较,如何求得平均效益呢?要客观地反映平均效益,即要考虑X的所有取值,又要考虑X取每一个值时的概率.称这个平均效益5.2万元为随机变量X的数学期望.13例1甲,乙两人进行打靶,所得分数分别记为X1,X2,它们的分布律分别为例2某种产品每件表面上的疵点数服从参数l=0.8的泊松分布,若规定疵点数不超过1个为一等品,价值10元;疵点数大于1个不多于4个为二等品,价值8元;疵点数超过4个为废品.求(1)产品的废品率;(2)产品价值的平均值.解设X代表每件产品上的疵点数,由题意知l=0.8.(1)因为(2)设Y代表产品的价值,那么Y的概率分布为二,连续型随机变量的数学期望设X是连续型随机变量,其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点<x0<x1<x2<,则X落在小区间[xi,xi+1)的概率为此时,概率分布定义2设X是连续型随机变量,其密度函数为f(x),如果注:并非所有随机变量都有数学期望.例如,若X的密度为例3已知随机变量X的分布函数例4某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式,记使用寿命为X(以年计),规定: X1, 一台付款1500元; 1<X2, 一台付款2000元; 2<X3, 一台付款2500元; X>3, 一台付款3000元.X的概率密度解先求出寿命X落在各个时间区间的概率.即有则Y的分布律为例5设随机变量X~f(x),E(X)=7/12,且解方程组得a=1,b=1/2.当0x<1时,有三,随机变量函数的数学期望设X是随机变量,g(x)为实函数,则Y=g(X)也是随机变量,理论上,虽然可通过X的分布求出g(X)的分布,再按定义求出g(X)的数学期望E[g(X)].但这种求法一般比较复杂.下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理.定理1设X是一个随机变量,Y=g(X),且E(Y)存在,则(1)若X为离散型随机变量,其概率分布为 P{X=xi}=pi,i=1,2,则Y的数学期望为定理2设(X,Y)是二维随机向量,Z=g(X,Y),且E(Z)存在.则(1)若(X,Y)为离散型随机向量,其分布率为 P(X=xi,Y=yj)=pij (i,j=1,2,)则Z的数学期望为例6设(X,Y)的联合概率分布为计算E(X):计算E(Y):计算E(XY):例7设随机变量X在[0,p]上服从均匀分布,求E(sinX),E(X2)及E[X-E(X)]2.解由定理1,有3637函数不为0的区域:解40例9设某商店经营一种商品,每周的进货量X和顾客对该种商品的需求量Y是两个相互独立的随机变量,均服从[10,20]上的均匀分布,此商店每售出一个单位的商品可获利1000元,若需求量超过进货量可从其他商店调剂供应,此时售出的每单位商品仅获利500元.求此商店经销这种商品每周获利的期望.解设此商店经销该商品每周可获利L元.依题有L(X,Y)的分块的不为0区域故该商品每周期望获利为14167元.四,数学期望的性质1.设C是常数,则E(C)=C2.若C是常数,则E(CX)=CE(X);证明只对离散型情形进行证明,设X的概率分