高中数学 第六章 导数及其应用 6.1 导数 6.1.3 基本初等函数的导数课时分层作业（含解析）新人教B版选择性必修第三册-新人教B版高二选择性必修第三册数学试题.doc

PAGE-4-

课时分层作业(十三)基本初等函数的导数
(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．下列结论正确的是()
A．若y＝cosx，则y′＝sinx
B．若y＝sinx，则y′＝－cosx
C．若y＝eq\f(1,x)，则y′＝－eq\f(1,x2)
D．若y＝eq\r(x)，则y′＝eq\f(\r(x),2)
C[∵(cosx)′＝－sinx，∴A不正确；
∵(sinx)′＝cosx，∴B不正确；
∵(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))，∴D不正确．]
2．在曲线f(x)＝eq\f(1,x)上切线的倾斜角为eq\f(3,4)π的点的坐标为()
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(－1,1) D．(1,1)或(－1，－1)
D[切线的斜率k＝taneq\f(3,4)π＝－1，
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，
又f′(x)＝－eq\f(1,x2)，∴－eq\f(1,x\o\al(2,0))＝－1，∴x0＝1或－1，
∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D.]
3．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为()
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x4－2
C．f(x)＝x3＋1 D．f(x)＝x4－1
B[由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得，选B.]
4．已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝()
A．4B．－4C．28D．－28
C[∵y′＝3x2，
∴点(2,8)处的切线斜率k＝f′(2)＝12.
∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，
∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.]
5．若f(x)＝sinx，f′(α)＝eq\f(1,2)，则下列α的值中满足条件的是()
A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(2,3)πD.eq\f(5,6)π
A[∵f(x)＝sinx，∴f′(x)＝cosx.
又∵f′(α)＝cosα＝eq\f(1,2)，∴α＝2kπ±eq\f(π,3)(k∈Z)．
当k＝0时，α＝eq\f(π,3).]
二、填空题
6．若f(x)＝eq\r(x)，且f′(α)＝eq\f(1,4)，则α＝________.
4[因为f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))，所以f′(α)＝eq\f(1,2\r(α))＝eq\f(1,4)，解得α＝4.]
7．已知函数y＝f(x)的图像在M(1，f(1))处的切线方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.
3[依题意知，f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，
f′(1)＝eq\f(1,2)，∴f(1)＋f′(1)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)＝3.]
8．直线y＝eq\f(1,2)x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.
ln2－1[设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝lnx0.
∵y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，由题意知eq\f(1,x0)＝eq\f(1,2)，
∴x0＝2，y0＝ln2.
由ln2＝eq\f(1,2)×2＋b，得b＝ln2－1.]
三、解答题
9．若质点P的运动方程是s＝eq\r(3,t2)(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8s时的瞬时速度．
[解]∵s′＝(eq\r(3,t2))′＝(teq\f(2,3))′＝eq\f(2,3)t－eq\f(1,3)，
∴s′|t＝8＝eq\f(2,3)×8－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)×2－1＝eq\f(1,3)，
∴质点P在t＝8s时的瞬时速度为eq\f(1,3)m/s.
10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点．
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
[解](1)因为y′＝2x.
P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝4，
过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)直线PQ的斜率k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，设切点为(x0，xeq\o\al(2,0))，因为y′＝2x，所