高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和真题演练集训 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.doc

2018版高考数学一轮复习第六章数列6.4数列求和真题演练集训理新人教A版
1．[2016·北京卷]已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.
答案：6
解析：设等差数列{an}的公差为d，由已知，得
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝6，,2a1＋6d＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝6，,d＝－2，))
所以S6＝6a1＋eq\f(1,2)×6×5d
＝36＋15×(－2)＝6.
2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
答案：－eq\f(1,n)
解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
∵Sn≠0，∴eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn＋1)＝1，即eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝－1.
又eq\f(1,S1)＝－1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首项为－1，公差为－1的等差数列．
∴eq\f(1,Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，
∴Sn＝－eq\f(1,n).
3．[2016·山东卷]已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝eq\f(an＋1n＋1,bn＋2n)，求数列{cn}的前n项和Tn.
解：(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，
当n＝1时，a1＝S1＝11，
所以an＝6n＋5.
设数列{bn}的公差为d，
由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝b1＋b2，,a2＝b2＋b3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11＝2b1＋d，,17＝2b1＋3d，))
可解得b1＝4，d＝3.
所以bn＝3n＋1.
(2)由(1)知，cn＝eq\f(6n＋6n＋1,3n＋3n)＝3(n＋1)·2n＋1.
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
所以Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，
两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋\f(41－2n,1－2)－n＋1×2n＋2))＝－3n·2n＋2，
所以Tn＝3n·2n＋2.
4．[2015·新课标全国卷Ⅰ]Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，aeq\o\al(2,n)＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq\f(1,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和．
解：(1)由aeq\o\al(2,n)＋2an＝4Sn＋3，①
可知aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.②
②－①，得aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即2(an＋1＋an)＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．
由an＞0，得an＋1－an＝2.
又aeq\o\al(2,1)＋2a1＝4a1＋3，
解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.
(2)由an＝2n＋1可知，
bn＝eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,2n＋12n＋3)
＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3))).
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,7)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3)))))＝eq\f(n,32n＋3).
课外拓展