高考数学一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示真题演练集训 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.doc

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由递推公式求通项的常用方法和技巧
递推数列是高考考查的热点，由递推公式求通项时，一般需要先对递推公式进行变形，然后利用转化与化归的思想解决递推数列问题．下面给出几种常见的递推数列，并讨论其通项公式的求法．
类型1an＋1＝an＋f(n)
把原递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解．
[典例1]已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，求数列{an}的通项公式．
[思路分析]

[解]因为a1＝2，an＋1－an＝n＋1，
所以an－an－1＝(n－1)＋1，
an－1－an－2＝(n－2)＋1，an－2－an－3＝(n－3)＋1，
…
a2－a1＝1＋1，
由已知，a1＝2＝1＋1，
将以上各式相加，得
an＝[(n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋…＋2＋1]＋n＋1
＝eq\f(n－1[n－1＋1],2)＋n＋1
＝eq\f(nn－1,2)＋n＋1
＝eq\f(nn＋1,2)＋1.
类型2an＋1＝f(n)an
把原递推公式转化为eq\f(an＋1,an)＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解．
[典例2]已知数列{an}满足a1＝eq\f(2,3)，an＋1＝eq\f(n,n＋1)·an，求数列{an}的通项公式．
[思路分析]

[解]由an＋1＝eq\f(n,n＋1)·an，得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1).
当n≥2，n∈N*时，an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1＝eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·…·eq\f(1,2)·eq\f(2,3)＝eq\f(2,3n)，即an＝eq\f(2,3n).
又当n＝1时，eq\f(2,3×1)＝eq\f(2,3)＝a1，故an＝eq\f(2,3n).
类型3an＋1＝pan＋q[其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0]
先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝eq\f(q,1－p)，再利用换元法转化为等比数列求解．
[典例3]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求数列{an}的通项公式．
[思路分析]

[解]设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，
即an＋1＝2an－t，解得t＝－3.
故an＋1＋3＝2(an＋3)．
令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋1＋3,an＋3)＝2.
所以{bn}是以4为首项，以2为公比的等比数列．
所以bn＝4×2n－1＝2n＋1,即an＝2n＋1－3.
类型4an＋1＝pan＋qn[其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0]
(1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn＋1，得eq\f(an＋1,qn＋1)＝eq\f(p,q)·eq\f(an,qn)＋eq\f(1,q)，引入辅助数列{bn}eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中bn＝\f(an,qn)))，得bn＋1＝eq\f(p,q)·bn＋eq\f(1,q)，再用待定系数法解决；
(2)也可在原递推公式两边同除以pn＋1，得eq\f(an＋1,pn＋1)＝eq\f(an,pn)＋eq\f(1,p)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(q,p)))n，引入辅助数列{bn}eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中bn＝\f(an,pn)))，得bn＋1－bn＝eq\f(1,p)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(q,p)))n，再利用累加法(逐差相加法)求解．
[典例4]已知数列{an}中，a1＝eq\f(5,6)，an＋1＝eq\f(1,3)an＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1，求数列{an}的通项公式．
[思路分析]

[解]解法一：将an＋1＝eq\f(1,3)an＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1两边分别乘以2n＋1，得2n＋1an＋1＝eq\f(2,3)(2nan)＋1.
令bn＝2nan，则bn＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))bn＋1，
根据待定系数法，得