高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积 理-人教版高三全册数学试题.doc

第3讲平面向量的数量积
一、选择题
1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()
A．4 B．3
C．2 D．0
解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，
则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案D
2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·a,a·b)))b，则向量a与c的夹角为()
A．0B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)
解析∵a·c＝a·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·a,a·b)))b))
＝a·a－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,a·b)))a·b＝a2－a2＝0，
又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝eq\f(π,2)，故选D.
答案D
3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝ ()．
A．4 B．3 C．2 D．0
解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案D
4．已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，λ∈R.若eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)，则λ等于 ()．
A.eq\f(1,2) B.eq\f(1±\r(2),2)
C.eq\f(1±\r(10),2) D.eq\f(－3±2\r(2),2)
解析以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，eq\r(3))，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，得P(2λ，0)，由eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，得Q(1－λ，eq\r(3)(1－λ))，所以eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝(－λ－1，eq\r(3)(1－λ))·(2λ－1，－eq\r(3))＝－(λ＋1)(2λ－1)－eq\r(3)×eq\r(3)(1－λ)＝－eq\f(3,2)，解得λ＝eq\f(1,2).]
答案A
5．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()．
A.eq\r(2)－1 B．1 C.eq\r(2) D．2
解析由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，
故|a＋b－c|≤1.
答案B
6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝eq\f(α·β,β·β).若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，且ab和ba都在集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(n∈Z))))中，则ab＝ ()．
A.eq\f(1,2) B．1 C.eq\f(3,2) D.eq\f(5,2)
解析由定义αβ＝eq\f(α·β,β2)可得ba＝eq\f(a·b,a2)＝eq\f(|a|·|b|cosθ,|a|2)＝eq\f(|b|cosθ,|a|)，由|a|≥|b|>0，及θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))得0<eq\f(|b|cosθ,|a|)<1，从而eq\f(|b|cosθ,|a|)＝eq\f(1,2)，即|a|＝2|b|cosθ.ab＝eq\f(a·b,b2)＝eq\f(|a|·|b|cosθ,|b|2)＝eq\f(|a|cosθ,|b|)＝2cos2θ，因为θ∈e