高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.2.3 向量的数乘运算学案（含解析）新人教A版必修第二册-新人教A版高一必修第二册数学学案.doc

6.2.3向量的数乘运算
[目标]1.记住向量数乘的定义及其规定；2.能够利用向量共线基本定理解决共线问题；3.记住向量数乘运算法则并能进行相关运算．
[重点]向量数乘的定义．
[难点]向量共线基本定理．
要点整合夯基础
知识点一向量数乘的定义
[填一填]
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；λ＝0时，λa＝0.
[答一答]
1．数乘向量与数乘数有什么区别？
提示：数乘向量与数乘数的区别：前者结果为一个向量，后者结果为一个实数．
2．－2a与a有什么关系？
提示：－2a与a方向相反，－2a的长度是a长度的2倍．
知识点二向量数乘的运算律
[填一填]
实数与向量的积的运算律中，结合律是λ(μa)＝(λμ)a，它的几何意义是将表示向量a的有向线段先伸长或压缩|μ|倍，再伸长或压缩|λ|倍，与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λμ|倍所得结果相同．
第一分配律是(λ＋μ)a＝λa＋μa，几何意义是将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λ|倍后，再与表示向量a的有向线段伸长或压缩|μ|倍后相加，与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λ＋μ|倍所得结果相同．
第二分配律是λ(a＋b)＝λa＋λb，几何意义是将表示向量a、b的有向线段先相加，再伸长或压缩|λ|倍，与将表示向量a、b的有向线段先伸长或压缩|λ|倍，再相加所得结果相同．
[答一答]
3．向量数乘的运算律与实数乘法的运算律有什么不同？
提示：向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．

知识点三向量共线基本定理
[填一填]
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
[答一答]
4．定理中条件a≠0能漏掉吗？
提示：定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，实数λ仍然存在，但λ是任意实数，不唯一；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.
5．与非零向量a共线的单位向量是±eq\f(a,|a|).
知识点四线性运算
[填一填]
(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
(2)任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
[答一答]
6．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中常用的一些变形手段能否在向量的线性运算中应用？
提示：实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用．
典例讲练破题型
类型一向量的数乘运算
[例1]计算：(1)3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；
(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b)).
[分析]综合运用向量数乘的运算律求解．
[解](1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a；
(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0.

向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.
[变式训练1](1)若a＝2b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(C)
A．－a
B．－b
C．－c
D．以上都不对
(2)eq\f(2,3)[(4a－3b)＋eq\f(1,3)b－eq\f(1,4)(6a－7b)]＝eq\f(5,3)a－eq\f(11,18)b.
解析：(1)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c，故选C.
(2)原式＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(3,2)a＋\f(7,4)b))
＝eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\l