高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.2.3 向量的数乘运算学案 新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学学案.doc

6．2.3向量的数乘运算考点学习目标核心素养向量数乘运算的定义及运算律理解向量数乘的定义及几何意义掌握向量数乘的运算律数学抽象、直观想象向量共线定理掌握向量共线定理会判断或证明两个向量共线逻辑推理问题导学预习教材P13－P16的内容思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？1．向量的数乘的定义一般地规定实数λ与向量a的积是一个向量这种运算叫做向量的数乘记作λa它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|．(2)当λ＞0时λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时λa＝0．■名师点拨λ是实数a是向量它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘但是不能相加减如λ＋aλ－a均没有意义．2．向量数乘的运算律设λμ为实数那么：(1)λ(μa)＝(λμ)a．(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa．(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．3．向量的线性运算及向量共线定理(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量ab以及任意实数λμ1μ2恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．(2)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ使b＝λa．■名师点拨若将定理中的条件a≠0去掉即当a＝0时显然a与b共线．(1)若b≠0则不存在实数λ使b＝λa.(2)若b＝0则对任意实数λ都有b＝λa.判断(正确的打“√”错误的打“×”)(1)实数λ与向量a的积还是向量．()(2)3a与a的方向相同－3a与a的方向相反．()(3)若ma＝mb则a＝b.()(4)向量共线定理中条件a≠0可以去掉．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a－2bB．aC．a－6bD．a－8b答案：D若|a|＝1|b|＝2且a与b方向相同则下列关系式正确的是()A．b＝2aB．b＝－2aC．a＝2bD．a＝－2b答案：A在四边形ABCD中若eq\o(AB\s\up6(→))＝－eq\f(12)eq\o(CD\s\up6(→))则此四边形的形状是________．答案：梯形向量的线性运算(1)计算：①4(a＋b)－3(a－b)－8a；②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；③eq\f(23)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（4a－3b）＋\f(13)b－\f(14)（6a－7b）)).(2)设向量a＝3i＋2jb＝2i－j求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13)a－b))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(23)b))＋(2b－a)．【解】(1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b.②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.③原式＝eq\f(23)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(13)b－\f(32)a＋\f(74)b))＝eq\f(23)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(52)a－\f(1112)b))＝eq\f(53)a－eq\f(1118)b.(2)原式＝eq\f(13)a－b－a＋eq\f(23)b＋2b－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13)－1－1))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(23)＋2))b＝－eq\f(53)a＋eq\f(53)b＝－eq\f(53)(3i＋2j)＋eq\f(53)(2i－j)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5＋\f(103)))i＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(103)－\f(53)))j＝－eq\f(53)i－5j.eq\a\vs4\al()向量线性运算的基本方法(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用但是在这里的“同类项”“公因式”指向量实数看作是向量的系数．(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解把所求向量当作未知数利用代数方程的方法求解同时在运算过程中要多注意观察恰当运用运算律简化运算．1．化简eq\f(25