高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.2.2 向量的减法运算学案（含解析）新人教A版必修第二册-新人教A版高一必修第二册数学学案.doc

6．2.2向量的减法运算
[目标]1.知道相反向量的定义；2.记住向量减法法则及其几何意义；3.能够用向量减法法则及意义求两向量的差．
[重点]向量减法法则及其几何意义．
[难点]向量减法法则及其几何意义的应用．
要点整合夯基础
知识点一相反向量
[填一填]
(1)我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0.
[答一答]
1．(1)相反向量就是方向相反的向量吗？
(2)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b吗？
提示：(1)不是．相反向量是方向相反且长度相等的向量．
(2)若|a|＝|b|，则a，b不一定共线，有可能a≠b且a≠－b.
知识点二向量的减法及其几何意义
[填一填]
1．向量减法的定义
求两个向量差的运算叫做向量的减法．
我们定义，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
2．向量减法的几何意义
(1)三角形法则
如图，已知a、b，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up15(→))＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．

(2)平行四边形法则
如图①，设向量eq\o(AB,\s\up15(→))＝b，eq\o(AC,\s\up15(→))＝a，则eq\o(AD,\s\up15(→))＝－b，由向量减法的定义，知eq\o(AE,\s\up15(→))＝a＋(－b)＝a－b.
又b＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝a，
所以eq\o(BC,\s\up15(→))＝a－b.
如图②，理解向量加、减法的平行四边形法则：
在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，
则eq\o(AC,\s\up15(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up15(→))＝a－b.

[答一答]
2．在代数运算中的移项法则，在向量中是否仍然成立？
提示：含有向量的等式称为向量等式，在向量等式的两边都加上或减去同一个向量，仍得到向量等式．移项法则对向量等式也是适用的．
3．类似于向量和的三角形不等式，向量差是否也存在三角形不等式呢？
提示：向量差也存在三角形不等式．对于任意a，b，不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|成立，并且当a，b同向且|a|≥|b|，|a|－|b|＝|a－b|.当a，b共线且反向时，|a－b|＝|a|＋|b|.
典例讲练破题型
类型一向量减法的几何意义
[例1]如下图，已知向量a、b、c，求作向量a＋c－b.

[分析]先作差向量c－b，再把它平移，使其起点与a的终点重合，然后利用三角形法则可得向量a＋(c－b)．
[解]如图，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，eq\o(OC,\s\up15(→))＝c，连接BC，则eq\o(BC,\s\up15(→))＝c－b，过点A作AD綉BC，则eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→)).∴eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝a＋c－b.

求作几个已知向量的和与差，一般先将这几个向量的起点平移到同一点O，然后两两组合，作出它们的和或差，依次累进就可得出所求作的向量.其中作图的先后次序可任意确定，作图过程不是唯一的.

[变式训练1]如图，设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，eq\o(OD,\s\up15(→))＝c，则eq\o(OB,\s\up15(→))＝a－b＋c.

解析：由于eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(DB,\s\up15(→))－eq\o(DO,\s\up15(→))，而eq\o(DB,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AD,\s\up15(→))＝a－b，eq\o(DO,\s\up15(→))＝－eq\o(OD,\s\up15(→))＝－c，所以eq\o(OB,\s\up15(→))＝a－b＋c.
类型二向量减法的运算
[例