高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质学案（含解析）新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学学案.doc

2.3.3直线与平面垂直的性质
2.3.4平面与平面垂直的性质

1．理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．(重点)
2．能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题．(重点、难点)
3．理解“平行”与“垂直”之间的相互转化．(易错点)

[基础·初探]
教材整理1直线与平面垂直的性质定理
阅读教材P70的内容，完成下列问题．
文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b图形语言
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．()
(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．()
(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．()
【解析】由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确．
【答案】(1)√(2)√(3)√
教材整理2平面与平面垂直的性质定理
阅读教材P71“思考”以下至P72“例4”以上的内容，完成下列问题．
文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a⊂α,a⊥l))⇒a⊥β图形语言
在长方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()
A．平行 B．EF⊂平面A1B1C1D1
C．相交但不垂直 D．相交且垂直
D[在长方体ABCD­A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确．]

[小组合作型]
线面垂直性质定理的应用如图2­3­31所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.

图2­3­31
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
【精彩点拨】(1)要证线线平行，则先证线面垂直，即证AD1⊥平面A1DC.
(2)可证ON＝AM，ON＝eq\f(1,2)AB.
【自主解答】(1)∵ADD1A1为正方形，

∴AD1⊥A1D.
又∵CD⊥平面ADD1A1.
∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.
又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.
(2)连接ON，在△A1DC中，
A1O＝OD，A1N＝NC.
∴ON綊eq\f(1,2)DC綊eq\f(1,2)AB，∴ON∥AM.
又∵MN∥OA，
∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM.
∵ON＝eq\f(1,2)AB，∴AM＝eq\f(1,2)AB，∴M是AB的中点．

1．直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．
2．当题中垂直条件很多，但又需证平行关系时，就要考虑垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．

[再练一题]
1．如图2­3­32，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.

图2­3­32
【证明】因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a∥l.
面面垂直性质定理的应用如图2­3­33所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

图2­3­33
(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
【精彩点拨】(1)eq\x(菱形ABCD，∠DAB＝60°)―→eq\x(△ABD为正三角形)
―→eq\x(BG⊥AD)eq\o(―――――――→,\s\up17(面PAD⊥底面ABCD))eq\x(BG⊥平面PAD)
(2)要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可．
【自主解答】(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，

∴△ABD为正三角形，
∵G是AD的中点，
∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)如图，连接PG.
∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.
∴AD⊥平面PB