高中数学 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质学案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学学案.doc

2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质学习目标核心素养1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理并能用文字、符号和图形语言描述定理．(重点)2.能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题．(重点、难点)3.理解平行与垂直之间的相互转化．(易错点)1.通过学习直线与平面垂直的性质提升直观想象、逻辑推理的数学素养.2.通过学习平面与平面垂直的性质提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.1．直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥αb⊥α))⇒a∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线思考：过一点有几条直线与已知平面垂直？[提示]有且仅有一条．假设过一点有两条直线与已知平面垂直由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行应无公共点这与过同一点相矛盾故只有一条直线．2．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥βα∩β＝la⊂αa⊥l))⇒a⊥β图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线思考：如果α⊥β则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？[提示]正确．若设α∩β＝la⊂αb⊂βb⊥l则a⊥b故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．1．直线n⊥平面αn∥l直线m⊂α则l、m的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直D[由题意可知l⊥α所以l⊥m.]2．若平面α⊥平面β平面β⊥平面γ则()A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能D[可能平行也可能相交．如图α与δ平行α与γ垂直．]3．已知直线ab平面α且a⊥α下列条件中能推出a∥b的是()A．b∥αB．b⊂αC．b⊥αD．b与α相交C[由线面垂直的性质定理可知当b⊥αa⊥α时a∥b.]4．平面α⊥平面β直线l⊂α直线m⊂β则直线lm的位置关系是________．相交、平行或异面[根据题意lm可能相交、平行或异面．]线面垂直性质定理的应用【例1】如图所示在正方体ABCD­A1B1C1D1中M是AB上一点N是A1C的中点MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.[证明]因为四边形ADD1A1为正方形所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC所以MN∥AD1.证明线线平行常用如下方法：1利用线线平行定义：证共面且无公共点；2利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；3利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；4利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；5利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.1．如图已知平面α∩平面β＝lEA⊥α垂足为AEB⊥β直线a⊂βa⊥AB.求证：a∥l.[证明]因为EA⊥αα∩β＝l即l⊂α所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E所以l⊥平面EAB.因为EB⊥βa⊂β所以EB⊥a又a⊥ABEB∩AB＝B所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理得a∥l.面面垂直性质定理的应用【例2】如图在三棱锥P­ABC中PA⊥平面ABC平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.[证明]如图在平面PAB内作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC且平面PAB∩平面PBC＝PBAD⊂平面PAB∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABCBC⊂平面ABC∴PA⊥BC又∵PA∩AD＝A∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB∴BC⊥AB.1．证明或判定线面垂直的常用方法：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥ba⊥α则b⊥α(a、b为直线α为平面)；(4)若a⊥αα∥β则a⊥β(a为直线αβ为平面)；2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．2．如图四棱锥V­ABCD的底面是矩形侧面VAB⊥底面ABCD又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.[证明]∵面VAB⊥面ABCD且BC⊥AB面VAB∩面ABCD＝ABBC⊂平面ABCD.∴BC⊥面VAB又VA⊂平面VAB∴BC⊥VA又VB⊥面VAD∴VB⊥VA又VB∩BC＝B∴VA⊥面VBC∵VA⊂面VAC∴平面VBC⊥平面VAC.线线、线面、面面垂直的综合应用[探究问题]试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．[提示]垂直问题转化关系如下所示：【例3】如图所示△ABC