高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面 2.3.4 平面与平面垂直的性质（2）学案（含解析）新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学学案.doc

第二课时直线与平面、平面与平面垂直的性质(习题课)

1．直线与平面垂直的性质定理是什么？
略
2．直线与平面垂直的性质定理有什么作用？
略
3．平面与平面垂直的性质定理是什么？
略
4．平面与平面垂直的性质定理有什么作用？
略

线面、面面垂直的综合问题[例1]如图，已知直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c.
[解]证明：过点B作直线a′∥a，
a′与b确定的平面设为γ.
因为a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′，
又AB⊥b，a′∩b＝B，所以AB⊥γ.
因为b⊥β，c⊂β，所以b⊥c.①
因为a⊥α，c⊂α，所以a⊥c，又a′∥a，所以a′⊥c.②
由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c.

[类题通法]
判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判定定理和性质定理，有时也可以放到特殊的几何体中(如正方体、长方体等)然后再判断它们的位置关系．
[活学活用]
如图所示：平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB.求证：a⊥β.

证明：如图，∵a∥α，过a作平面γ交α于a′，则a∥a′.
∵a⊥AB，∴a′⊥AB.
∵α⊥β，α∩β＝AB，
∴a′⊥β，∴a⊥β.
求点到面的距离[例2]已知△ABC，AC＝BC＝1，AB＝eq\r(2)，又已知S是△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝eq\r(5)，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离．
[解]法一：如图所示，连接PA，PB.易知△SAC，△ACB是直角三角形，
所以SA⊥AC，BC⊥AC.
取AB，AC的中点E，F，连接PF，EF，PE，则EF∥BC，PF∥SA.
所以EF⊥AC，PF⊥AC.
因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF.
又PE⊂平面PEF，所以PE⊥AC.
易证△SAC≌△SBC.因为P是SC的中点，
所以PA＝PB.
而E是AB的中点，所以PE⊥AB.
因为AB∩AC＝A，
所以PE⊥平面ABC.
从而PE的长就是点P到平面ABC的距离．
在Rt△AEP中，AP＝eq\f(1,2)SC＝eq\f(\r(5),2)，AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(2),2)，
所以PE＝eq\r(AP2－AE2)＝eq\r(\f(5,4)－\f(1,2))＝eq\f(\r(3),2)，
即点P到平面ABC的距离为eq\f(\r(3),2).
法二：如图所示，过A作AE∥BC，交SC于点E，过B作BF∥AC，交AE于点D，则四边形ACBD为正方形．
连接SD.因为AC⊥SA，AC⊥AD，SA∩AD＝A，所以AC⊥平面SDA.
所以AC⊥SD.
又由题意，可知BC⊥SB.因为BC⊥BD，
SB∩BD＝B，所以BC⊥平面SDB，所以BC⊥SD.
又BC∩AC＝C，于是SD⊥平面ACBD.
所以SD的长为点S到平面ABC的距离．
在Rt△SDA中易得SD＝eq\r(SA2－AD2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).
因为P为SC的中点，
故点P到平面ABC的距离为eq\f(1,2)SD＝eq\f(\r(3),2).
[类题通法]
求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段．可通过外形进行转化，转化为易于求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法．
[活学活用]
如图所示，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面边长为2eq\r(2)，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G.

(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；
(2)求点D1到平面B1EF的距离．
解：(1)证明：连接AC，
∵正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是正方形，
∴AC⊥BD.又AC⊥DD1，且BD∩DD1＝D，
故AC⊥平面BDD1B1.
∵E，F分别为棱AB，BC的中点，
故EF∥AC，
∴EF⊥平面BDD1B1，
又EF⊂平面B1EF，
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
(2)由(1)知平面B1EF⊥平面BDD1B1且交线为B1G，
所以作D1H⊥B1G于H，
则D1H⊥平面B1EF，即D1H为D1到平面B1EF的距离．
∵B1D1∥BD，
∴∠D1B1H＝∠B1GB，
∴sin∠D1B1H＝sin∠B1GB＝eq\f(4,\r(42＋12))＝eq\f(4,\r(17)).
在△D1B1H中，D1B1＝4，
sin∠D1B1H＝eq\f(4,\r(17))，∴D1H＝eq\f(16,\r(17))＝eq\f(16\r(17),17).
折叠问题[例3]如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起．

(1)如果