高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质学案（含解析）新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学学案.doc

2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质1．理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理并能用文字、符号和图形语言描述定理．(重点)2．能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题．(重点、难点)3．理解“平行”与“垂直”之间的相互转化．(易错点)[基础·初探]教材整理1直线与平面垂直的性质定理阅读教材P70的内容完成下列问题．文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥αb⊥α))⇒a∥b图形语言判断(正确的打“√”错误的打“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．()(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．()(3)一条直线在平面内另一条直线与这个平面垂直则这两条直线互相垂直．()【解析】由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确．【答案】(1)√(2)√(3)√教材整理2平面与平面垂直的性质定理阅读教材P71“思考”以下至P72“例4”以上的内容完成下列问题．文字语言两个平面垂直则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥βα∩β＝la⊂αa⊥l))⇒a⊥β图形语言在长方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB上任取一点E作EF⊥A1B1于F则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直D[在长方体ABCD­A1B1C1D1中平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1又EF⊂面A1ABB1EF⊥A1B1∴EF⊥平面A1B1C1D1答案D正确．][小组合作型]线面垂直性质定理的应用如图2­3­31所示在正方体ABCD­A1B1C1D1中M是AB上一点N是A1C的中点MN⊥平面A1DC.图2­3­31求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．【精彩点拨】(1)要证线线平行则先证线面垂直即证AD1⊥平面A1DC.(2)可证ON＝AMON＝eq\f(12)AB.【自主解答】(1)∵ADD1A1为正方形∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1.∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC∴MN∥AD1.(2)连接ON在△A1DC中A1O＝ODA1N＝NC.∴ON綊eq\f(12)DC綊eq\f(12)AB∴ON∥AM.又∵MN∥OA∴四边形AMNO为平行四边形∴ON＝AM.∵ON＝eq\f(12)AB∴AM＝eq\f(12)AB∴M是AB的中点．1．直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁因此必须熟练掌握这些定理并能灵活地运用它们．2．当题中垂直条件很多但又需证平行关系时就要考虑垂直的性质定理从而完成垂直向平行的转化．[再练一题]1．如图2­3­32已知平面α∩平面β＝lEA⊥α垂足为AEB⊥β垂足为B直线a⊂βa⊥AB.求证：a∥l.图2­3­32【证明】因为EA⊥αα∩β＝l即l⊂α所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E所以l⊥平面EAB.因为EB⊥βa⊂β所以EB⊥a又a⊥ABEB∩AB＝B所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理得a∥l.面面垂直性质定理的应用如图2­3­33所示P是四边形ABCD所在平面外的一点四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°侧面PAD为正三角形其所在平面垂直于底面ABCD.图2­3­33(1)若G为AD的中点求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.【精彩点拨】(1)eq\x(菱形ABCD∠DAB＝60°)―→eq\x(△ABD为正三角形)―→eq\x(BG⊥AD)eq\o(―――――――→\s\up17(面PAD⊥底面ABCD))eq\x(BG⊥平面PAD)(2)要证AD⊥PB只需证AD⊥平面PBG即可．【自主解答】(1)如图在菱形ABCD中连接BD由已知∠DAB＝60°∴△ABD为正三角形∵G是AD的中点∴BG⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD＝AD∴BG⊥平面PAD.(2)如图连接PG.∵△PAD是正三角形G是AD的中点∴PG⊥AD由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG.∴AD⊥PB.1．证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥ba⊥α则b⊥α(a、b为直线α为平面)；(4)若a⊥αα∥β则a⊥β(a为直线αβ为平面)．2．两平面垂直的性质定理告诉我