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实验二利用MATLAB进行时域分析

本实验内容包含以下三个部分：基于MATLAB的线性系统稳定性分析、基于MATLAB的线性系统动态性能分析、和MATALB进行控制系统时域分析的一些其它实例。
一、基于MATLAB的线性系统稳定性分析
线性系统稳定的充要条件是系统的特征根均位于S平面的左半部分。系统的零极点模型可以直接被用来判断系统的稳定性。另外，MATLAB语言中提供了有关多项式的操作函数，也可以用于系统的分析和计算。
（1）直接求特征多项式的根
设p为特征多项式的系数向量，则MATLAB函数roots()可以直接求出方程p=0在复数范围内的解v,该函数的调用格式为：
v=roots(p)
例3.1已知系统的特征多项式为：

特征方程的解可由下面的MATLAB命令得出。
>>p=[1,0,3,2,1,1];
v=roots(p)
结果显示：
v=

0.3202+1.7042i
0.3202-1.7042i
-0.7209
0.0402+0.6780i
0.0402-0.6780i

利用多项式求根函数roots(),可以很方便的求出系统的零点和极点，然后根据零极点分析系统稳定性和其它性能。
（2）由根创建多项式
如果已知多项式的因式分解式或特征根，可由MATLAB函数poly()直接得出特征多项式系数向量，其调用格式为：
p=poly(v)
如上例中：
v=[0.3202+1.7042i;0.3202-1.7042i;
-0.7209;0.0402+0.6780i;0.0402-0.6780i];
>>p=poly(v)
结果显示
p=

1.00000.00013.00002.00010.99980.9999

由此可见，函数roots()与函数poly()是互为逆运算的。
（3）多项式求值
在MATLAB中通过函数polyval()可以求得多项式在给定点的值，该函数的调用格式为：
polyval(p,v)
对于上例中的p值，求取多项式在x点的值，可输入如下命令：
>>p=[1,0,3,2,1,1];
x=1
polyval(p,x)
结果显示
x=
1
ans=
8
(4)部分分式展开
考虑下列传递函数：

式中，但是和中某些量可能为零。
MATLAB函数可将展开成部分分式，直接求出展开式中的留数、极点和余项。该函数的调用格式为：

则的部分分式展开由下式给出：

式中,,…,,为极点，
,,…,为各极点的留数，为余项。
例3.2设传递函数为：

该传递函数的部分分式展开由以下命令获得：
>>num=[2,5,3,6];
den=[1,6,11,6];
[r,p,k]=residue(num,den)
命令窗口中显示如下结果
r=

-6.0000
-4.0000
3.0000

p=

-3.0000
-2.0000
-1.0000

k=

2
中留数为列向量r，极点为列向量p，余项为行向量k。
由此可得出部分分式展开式：

该函数也可以逆向调用，把部分分式展开转变回多项式之比的形式，命令格式为：
[num,den]=residue(r,p,k)
对上例有：
>>[num,den]=residue(r,p,k)
结果显示
num=

2.00005.00003.00006.0000

den=

1.00006.000011.00006.0000
应当指出，如果p(j)=p(j+1)=…=p(j+m-1),则极点p(j)是一个m重极点。在这种情况下，部分分式展开式将包括下列诸项：

例3.3设传递函数为：

则部分分式展开由以下命令获得：
>>v=[-1,-1,-1]
num=[0,1,2,3];
den=poly(v);
[r,p,k]=residue(num,den)
结果显示
v=
-1-1-1
r=
1.0000
0.0000
2.0000
p=
-1.0000
-1.0000
-1.0000
k=
[]
其中由poly()命令将分母化为标准降幂排列多项式系数向量den,k=[]为空矩阵。
由上可得展开式为：

（5）由传递函数求零点和极点。
在MATLAB控制系统工具箱中，给出了由传递函数对象G求出系统零点和极点的函数，其调用格式分别为：
Z=tzero(G)
P=G.P{1}
注意：式19中要求的G必须是零极点模型对象，且出现了矩阵的点运算“.”和大括号｛｝表示的矩阵元素，详细内容参阅后面章节。
例3.4已知传递函数为：

输入如下命令：
num=[6.8,61.2,95.2];
den=[1,7.5,22,19.5,0];
G=tf(num,den);
G1=zpk(G);
Z=tzero(G)
P=G1.P{1}
结果显示
Z=

-7
-2

P=

0
-3.0000+2.0000