导数的概念及导数的几何意义.docx

<<高等数学>>教案
课型：讲授
章节第二章导数与微分第一节导数及其运算1·导数的概念及导数的几何意义

教学目的：1、理解导数定义，能够运用定义求解简单函数的导数
2、了解导数的几何意义，会求曲线在某点的切线和法线方程
3、掌握可导与连续的关系，判别函数在某点的可导性与连续性

教学重点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义
2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程

教学难点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义
2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程

教学过程：1、简介微积分的组成，微分与积分的区别
2、引入导数概念
3、给出导数定义
（1）函数在某点导数的定义
（2）函数在某区间导数的定义
（3）单侧导数的定义
4、求导数举例
5、导数的几何意义
6、求切线和法线方程举例
7、可导与连续的关系
8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性
9、课堂小结
10、布置作业

§1导数及其运算
导数的概念
1、导数的引入
设一质点在坐标轴上作非匀速运动,时刻t质点的坐标为s,s是t的函数:
sf(t),
求动点在时刻t0的速度.
考虑比值
SKIPIF1<0,
这个比值可认为是动点在时间间隔tt0内的平均速度.如果时间间隔选较短,这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度.但这样做是不精确的,更确地应当这样:令tt0®0,取比值SKIPIF1<0的极限,如果这个极限存在,设为v,即
SKIPIF1<0,
这时就把这个极限值v称为动点在时刻t0的速度.
2、导数的定义
从上面所讨论的两个问题看出,非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:
SKIPIF1<0.
令xxx0,则yf(x0x)f(x0)f(x)f(x0),x®x0相当于x®0,于是SKIPIF1<0
成为
SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.
导数的定义设函数yf(x)在点x0及其近旁有定义,当自变量x在x0处取得增量x时,相应地函数y取得增量
yf(x0x)f(x0)，
如果当x®0时，SKIPIF1<0的极限存在,则称这个极限为函数yf(x)在点x0处的导数,记作SKIPIF1<0,即
SKIPIF1<0,
也可记作
SKIPIF1<0,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.
函数f(x)在点x0处有导数（即极限SKIPIF1<0存在），有时也说成f(x)在点x0可导.如果极限SKIPIF1<0不存在,就说函数yf(x)在点x0处不可导.如果不可导的原因是由于x®0时,SKIPIF1<0®SKIPIF1<0也往往说函数yf(x)在点x0处的导数为无穷大.
导数的定义式也可取不同的形式,常见的有
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0.
在实际中,需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题,在数学上就是所谓函数的变化率问题.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.

如果函数yf(x)在开区间（a，b）内的每一点都可导,就称函数y=f(x)在开区间（a，b）内可导,这时,对于开区间（a，b）内的任一点x,都对应着一个确定的导数SKIPIF1<0.这样就构成了一个以（a，b）为定义域的新函数,这个新函数叫做原来函数f(x)的导函数,简称导数，记作SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,或SKIPIF1<0.即
SKIPIF1<0=SKIPIF1<0或SKIPIF1<0
f¢(x0)与f¢(x)之间的关系:
函数f(x)在点x0处的导数f¢(x)就是导函数f¢(x)在点xx0处的函数值,即
SKIPIF1<0.
导函数f¢(x)简称导数,而f¢(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f¢(x)在x0处的值.
左右导数:所列极限存在,则定义
f(x)在SKIPIF1<0的左导数:SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0;
f(x)在SKIPIF1<0的右导数:SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0.
左导数和右导数统称为单侧导数.
导数与左右导数的关系函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f¢(x0)和右导数f¢(x0)都存在且相等.
如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导,且右导数f¢(a)和左导数f¢(b)都存在,就说f(x)有闭区间[a,b]上可导.

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3、求导数举例
例1．求函数f(x)C（C为常数