公选课数学建模论文钢管下料问题.docx

钢管下料问题
摘要

生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成所需大小这种工艺过程,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.
针对钢管下料问题，我们采用数学中的线性规划模型.对模型进行了合理的理论证明和推导，然后借助于解决线性规划的专业软件Lingo11.0，对题目所提供的数据进行计算，从而得出最优解.

关键词线性规划最优解钢管下料

1、问题的提出
某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm，现在一顾客需要15根290mm，28根315mm，21根350mm和30根455mm的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm，为了使总费用最小，应该如何下料？
2、问题的分析
首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少.
3、基本假设
假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行.
4、定义符号说明
（1）设每根钢管的价格为a，为简化问题先不进行对a的计算.
（2）四种不同的切割模式：、、、.
（3）其对应的钢管数量分别为：、、、（非负整数）.
5、模型的建立
由于不同的模式不能超过四种，可以用表示按照第种模式（=1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产290mm，315mm,,350mm和455mm的钢管数量分别为，，，（非负整数）.
决策目标切割钢管总费用最小，目标为：
Min=（1.1+1.2+1.3+1.4）a(1)
为简化问题先不带入a
约束条件为满足客户需求应有
+++≧15(2)
+++≧28(3)
+++≧21(4)
+++≧15(5)
每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm也不能小于1750mm.于是：

1750≦290+315+350+455≦1850（6）
1750≦290+315+350+455≦1850（7）
1750≦290+315+350+455≦1850（8）
1750≦290+315+350+455≦1850（9）
由于排列顺序无关紧要因此有
≧≧≧(10)
又由于总根数不能少于
（15290+28315+21350+30455）/1850≧18.47(11)
也不能大于
（15290+28315+21350+30455）/1750≦19.525(12)
由于一根原钢管最多生产5根产品，所以有
+++≦5(13)
7、模型的求解
将（1）~（13）构建的模型输入Lingo11.0
经计算绘制成表格如下：

切割模式290mm315mm350mm455mm余料mm022165300270013130000430即取切割模式14根及切割模式5根，即可得到最优解：
Min=（1411/10+512/10）a
=21.4a
6、结果分析、模型的评价与改进
下料问题的建模主要有两部分组成，一是确定下料模式，二是构造优化模型.对于下料规格不太多时，可以采用枚举出下料模式，对规格太多的，则适用于本模型.而从本模型中可以看出尽管切割模式x3、x4的余料最少，但是其成本比较高因而舍弃.
7、参考文献
【1】姜启源，谢金星，叶俊,数学模型(第三版)，清华大学出版社，.
8、附录
模型求解的算法程序：
model:
min=x1*1.1+x2*1.2+x3*1.3+x4*1.4;
r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;
r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;
r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;
r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=15;

290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850;
290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850;
290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850;
290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;

290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750;
290*r12+315*r22+