数学建模_之易拉罐下料问题.doc

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型
【摘要】本模型是易拉罐形状和尺寸的最优设计问题。其关键问题是如何优化易拉罐形状和尺寸比例以达到节省生产成本的目的。根据最优化理论，根据给出的不同的易拉罐形状，利用算数几何平均值不等式求极小值的方法，以易拉罐表面积为目标函数的数学模型，求出盖直径和罐高之比为1：1，这与所测量的顶盖到底的高度约为顶盖直径的2倍这一关系不相符合。这是由于易拉罐顶盖的厚度与其他部分材料的厚度不同而造成的，为此文中以易拉罐所用材料的体积最少来建立优化模型，将圆柱体基本模型进一步改造，且求出在易拉罐制作方面所用材料最省前提下盖直径和罐高之比为1:2。进而证实利用Lingo编程所得的理论数据与实际测量易拉罐所得数据基本相符。
【关键词】易拉罐材料最优化模型
一．问题重述
我们只要稍加留意就会发现现在销量很大的饮料（例如饮料量为355ml的可口可乐、青岛啤酒等）的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的，这并非偶然，这是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。因此，我们着手研究什么样的形状和尺寸是易拉罐的最优设计。
现针对以下问题，研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明。
问题二：设易拉罐是一个正圆柱体，那么它的最优设计是什么？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
问题三：设易拉罐的中心纵断面如图1所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱。它的最优设计是什么？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸。
问题四：利用所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。图1
同时，以做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。
二．问题分析
在易拉罐设计的实际情况中，我们必须保证罐内体积大于饮料的净含量，同时考虑到饮料对罐体各部分的应力，需确定罐盖、罐底和罐壁的厚度，在此情况下的最优是使得容积一定时，所用的材料最省。
在问题一中对于各个部分的数据可以直接测量；问题二是对正圆柱体的易拉罐在容积一定时，以半径和高之比为衡量最优设计的标准；问题三中，对比问题一中所测得的数据，发现易拉罐罐盖、罐底的厚度是罐壁的2倍，因此我们在解决此问题时可以假设罐盖、罐底的厚度是罐壁的两倍，再利用规划方法求解由圆台和圆柱体组成的易拉罐的最优设计。在问题四中根据问题二、三的模型所求得的数据与测量的数据进行比较，以及观察市场上正规厂家生产的碳酸和非碳酸饮料易拉罐的异同之处，作出关于易拉罐形状和尺寸的最优模型。
三．符号说明及模型假设
1.符号说明
(模型1)：罐内半径；
：罐内高；
：罐壁厚；
：罐底与罐盖厚；
(模型2)：罐内高；
：罐壁厚；
：正圆台部分上底内半径；
：正圆台内高；
(模型3)：上部为正圆台高；
：上圆台罐口内半径；
：中部为正圆柱高；
：罐体正圆柱内半径；
下部为正圆台高；
：罐底内半径；
：罐底拱高；
：罐体壁厚；
2.模型假设
1)、根据薄壁圆筒的应力分析，假设易拉罐罐盖、罐底的厚度是罐壁2倍。
2)、易拉罐各接口处的材料忽略不计。
3)、易拉罐各部分所用的材料相同。
4)、单位体积材料的价格一定。
5)、相同类型易拉罐的容积相同。
6)、易拉罐均能承受内部压力。
四、模型建立与求解
目前市场上大部分的易拉罐形状可以分成两类：一类主体部分是正圆柱体，正圆柱体上面部分是正圆台（如图2）；另一类主体部分是正圆柱体，正圆柱体上面部分与下面部分都是正圆台（如图3）。

图2图3
我们对335ml可口可乐易拉罐进行了测量，测量数据如下表（单位；）:
罐高123.7罐柱内径61.29上圆台高13.5下圆台高7.7罐盖内径58.17罐底厚0.29罐盖厚0.29罐底拱高10.11圆柱体高102.5罐壁厚0.135由上表可知：罐底与罐盖的厚度大约是柱壁厚度的2倍；罐高大约为正圆柱直径的2倍。
易拉罐形状和尺寸的最优设计就是确保盛放饮料时容器不变形、放置稳定、运输安全的前提下，如何设计形状与尺寸才能使一定容积量的易拉罐所用的材料最省，为此我们分别对问题二、问题三、问题四建立模型如下：
模型一：简单正圆柱体模型建立
假设易拉罐是一个正圆柱体，罐内半径为，罐内高为，罐壁厚为，根据假设1可知，罐底与罐盖厚为，所以制作材料的体积为：

=
因为，故项可以忽略不计。因而

于是，问题就是求目标函数在