数学建模之钢管下料问题案例分析.docx

钢管下料问题
某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m。
(1）现在一客户需要50根4m、20根6m和15根8m的钢管。应如何下料最节省？
(2)零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5m的钢管。应如何下料最节省。

问题（1）分析与模型建立
首先分析1根19m的钢管切割为4m、6m、8m的钢管的模式，所有模式相当于求解不等式方程：

的整数解。但要求剩余材料。
容易得到所有模式见表1。
表1钢管切割模式
模式4m6m8m余料(m)14003231013201340023503016111171203
决策变量用表示按照第i种模式(i=1,2,…，7)切割的原料钢管的根数。
以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有

约束条件为满足客户的需求，4米长的钢管至少50根，有

6米长的钢管至少20根，有

8米长的钢管至少15根，有

因此模型为：

解得：

目标值z=27。
即12根钢管采用切割模式2：3根4m，1根6m，余料1m。
15根钢管采用切割模式6：1根4m，1根6m，1根8m，余料1m。
切割模式只采用了2种，余料为27m，使用钢管27根。

LINGO程序：
model:
sets:
model/1..7/:x;
endsets
min=x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7);
4*x(1)+3*x(2)+2*x(3)+x(6)+x(7)>=50;
x(2)+3*x(5)+x(6)+2*x(7)>=20;
x(3)+2*x(4)+x(6)>=15;
@for(model(i):@gin(x(i)));
end

问题（2）模型建立
首先分析1根19m的钢管切割为4m、6m、8m、5m的钢管的模式，所有模式相当于求解不等式方程：

的整数解。但要求剩余材料。
利用Matlab程序求出所有模式见表2。

求出所有模式的Matlab程序：
number=0;
fork1=0:4
fork2=0:3
fork3=0:2
fork4=0:3
r=19-(4*k1+6*k2+8*k3+5*k4);
if(r>=0)&(r<4)
number=number+1;
fprintf('%2d%2d%2d%2d%2d%2d\n',number,k1,k2,k3,k4,r);
end
end
end
end
end

表2钢管切割模式
模式4m6m8m5m余料(m)1001212002033010234011105020126030017100308101129111011012003112002112201031321010143001215310011640003
决策变量用表示按照第i种模式(i=1,2,…，16)切割的原料钢管的根数。
决策目标以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有

设第i种切割模式下4米长的钢管根，6米长的钢管根，8米长的钢管根，5米长的钢管根。则约束条件有：
为满足客户的需求，4米长的钢管至少50根，有

6米长的钢管至少20根，有

8米长的钢管至少15根，有

5米长的钢管至少10根，有

为实现最多使用3种切割模式，增设0-1变量。
当时，，表示不使用第i种切割模式；当时，，表示使用第i种切割模式。因此有：
，，
其中足够大，如这里取100。

因此模型为：

解得：

当所用钢管z最少时，求得的解为：
，其余为0。
目标值z=28。
即8根钢管采用切割模式2：2根8m，余料3m。
10根钢管采用切割模式13：2根4m，1根6m，1根5m，余料为0。
10根钢管采用切割模式15：3根4m，1根6m，余料1m。
切割模式采用了3种，余料为34，使用钢管z=28根。

LINGO程序为：
model:
sets:
model/1..16/:a,b,c,d,r,x,y;
endsets
data:
a=0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,2,2,2,3,3,4;
b=0,0,1,1,2,3,0,0,1,2,0,0,1,0,1,0;
c=1,2,0,1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0;
d=2,0,2,1,1,0,3,1,0,0,2,0,1,1,0,0;
r=1,3,3,0,2,1,0,2,1,3,1,3,0,2,1,3;
enddata

min=z;
z1=@sum(model(i):r(i)*x(i));!余料;
z=@sum(model(i):x(i));!钢管总数;
@sum(model(i):a(i)*x(i)