1819 31 313 空间向量基本定理 314 空间向量的坐标表示.docx

3.1.3空间向量基本定理
3.1.4空间向量的坐标表示
学习目标：1.掌握空间向量的基本定理及其推论，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法．(重点、难点)2.理解空间向量坐标的定义，能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标运算判断两个空间向量平行．(重点)3.基向量的选取及应用．(易错点)
[自主预习·探新知]
教材整理1空间向量基本定理
阅读教材P87～P88例1以上的部分，完成下列问题．
1．空间向量基本定理
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.
2．基底、基向量
在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量.0不能作为基向量．
3．正交基底、单位正交基底
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．
4．空间向量基本定理的推论
设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(\o(OB,\s\up8(→)))＋zeq\o(OC,\s\up8(→)).
已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(e1，e2，e3))是空间的一个基底，且eq\o(OA,\s\up8(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up8(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up8(→))＝e1＋e2－e3，试判断eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up8(→))，\o(OB,\s\up8(→))，\o(OC,\s\up8(→))))能否作为空间的一个基底？并说明理由．
[解]eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up8(→))，\o(OB,\s\up8(→))，\o(OC,\s\up8(→))))能作为空间的一个基底，理由如下：
假设eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))共面，则存在实数λ，μ使得eq\o(OA,\s\up8(→))＝λeq\o(OB,\s\up8(→))＋μeq\o(OC,\s\up8(→))，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3.
∵e1，e2，e3不共面，
∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3λ＋μ＝1，,λ＋μ＝2，,2λ－μ＝－1，))此方程组无实数解．
∴eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))不共面．
∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up8(→))，\o(OB,\s\up8(→))，\o(OC,\s\up8(→))))能作为空间的一个基底．
教材整理2空间向量的坐标运算
阅读教材P89～P90例1以上的部分，完成下列问题．
1．空间向量的坐标
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则eq\o(AB,\s\up8(→))＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a的坐标．
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量的加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量的减法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘向量λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R向量平行a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3，λ∈R已知向量a＝(－1,0,2)，2a＋b＝(0,1,3)，则b＝________.
[解析]b＝(2a＋b)－2a＝(0,1,3)－2(－1,0,2)＝(2,1，－1)．
[答案](2,1，－1)
[合作探究·攻重难]
基底的判断(1)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是________(填序号)．
①{a，a＋b，a－b}；②{b，a＋b，a－b}；③{c，a＋b，a－b}；④{a＋b，a－b，a＋