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3.1.2空间向量的基本定理
学习目标：1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．(重点、难点).3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．
[自主预习·探新知]
1．共线向量定理与共面向量定理
(1)共线向量定理
两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb.
(2)向量共面的条件
①向量a平行于平面α的定义
已知向量a，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，如果a的基线OA平行于平面α或在α内，则就说向量a平行于平面α，记作a∥α.
②共面向量的定义
平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
③共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.
2．空间向量分解定理
(1)空间向量分解定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.
(2)基底
如果三个向量a，b，c是三个不共面的向量，则a，b，c的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做基向量．表达式xa＋yb＋zc叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)向量a，b，c共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．()
(2)若向量e1，e2不共线，则空间任意向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)．()
[提示](1)×表示这三个向量的有向线段平行于同一平面．
(2)×与e1，e2共面的任意向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)．
2．给出的下列几个命题：
①向量a，b，c共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝xa＋yb；
②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
其中真命题的个数为()
A．0B．1C．2D．3
B[只有②为真命题．]
3．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．
【导学号：33242244】
x＝y＝z＝0[若x≠0，则a＝－eq\f(y,x)b＋eq\f(z,x)c，即a与b，c共面．
由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，
同理y＝z＝0.]
[合作探究·攻重难]
向量共线问题如图3­1­11所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up8(→))＝2eq\o(ED1,\s\up8(→))，F在对角线A1C上，且eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up8(→)).求证：E，F，B三点共线．
图3­1­11
[证明]设eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c.
∵eq\o(A1E,\s\up8(→))＝2eq\o(ED1,\s\up8(→))，eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up8(→))，
∴eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up8(→))，eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up8(→)).
∴eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→)))
＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→)))
＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.
∴eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(A1F,\s\up8(→))－eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c
＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(