1819 31 314 空间向量的直角坐标运算.docx

3.1.4空间向量的直角坐标运算
学习目标：1.了解空间向量坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示．(重点).3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．(难点、易混点)
[自主预习·探新知]
1．空间向量的坐标表示
空间直角坐标系及空间向量的坐标
(1)建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做坐标向量．
(2)空间向量的坐标
在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝(a1，a2，a3)．
思考1：若a＝x1e1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？
[提示]不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是．
2．空间向量的坐标运算
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量运算向量表示坐标表示加法a＋b(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa(λa1，λa2，λa3)数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b33.空间向量的平行、垂直及模、夹角
(1)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)
则eq\o(AB,\s\up8(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2).
(2)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
名称满足条件向量表示形式坐标表示形式a∥ba＝λb(λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夹角cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))思考2：若向量eq\o(AB,\s\up8(→))＝(x，y，z)，则点B的坐标是(x，y，z)吗？
[提示]不一定．A点与原点重合是，不与原点重合则不是．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量，并且eq\o(AB,\s\up8(→))＝－i＋j－k，则B点的坐标为(－1,1，－1)．()
(2)向量a＝(2，－3,1)与向量b＝(－4,6，－2)平行．()
(3)若向量a＝(1，－1,2)与向量b＝(x,2，－1)垂直，则x＝4.()
[提示](1)×向量eq\o(AB,\s\up8(→))的坐标与B点的坐标不同．
(2)√(3)√
2．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于()
A．(16,0,4) B．(8，－16,4)
C．(8,16,4) D．(8,0,4)
D[4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．]
3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(AC,\s\up8(→))的夹角为________．
【导学号：33242263】
60°[∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝(0,3,3)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－1,1,0)，
∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝3eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝eq\r(2)，
eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝3，
∴cos〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up8(→))·\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|·|\o(AC,\s\up8(→))|)＝eq\f(3,3\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，
∴〈eq