柱坐标系和球坐标系.doc

1.5柱坐标系和球坐标系
1.5.1柱坐标系
1.5.2球坐标系
1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置.(重点)
2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.(难点)
[基础·初探]
1.柱坐标系
(1)柱坐标
设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，M点在xOy坐标面上的投影点为M0，M0点在xOy平面上的极坐标为(ρ，θ)，如图1­5­1所示，则三个有序数ρ，θ，z构成的数组(ρ，θ，z)称为空间中点M的柱坐标.在柱坐标中，限定ρ≥0,0≤θ<2π，z为任意实数.
图1­5­1
(2)空间直角坐标与柱坐标的变换公式
空间点M(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,z＝z)).
2.球坐标系
(1)球坐标
设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，点M在xOy坐标面上的投影点为M0，连接OM和OM0.
图1­5­2
如图1­5­2所示，设z轴的正向与向量eq\o(OM,\s\up7(→))的夹角为φ，x轴的正向与eq\o(OM0,\s\up7(→))的夹角为θ，M点到原点O的距离为r，则由三个数r，θ，φ构成的有序数组(r，θ，φ)称为空间中点M的球坐标.若设投影点M0在xOy平面上的极坐标为(ρ，θ)，则极坐标θ就是上述的第二个球坐标θ.在球坐标中限定r≥0,0≤θ<2π，0≤φ≤π.
(2)空间直角坐标与球坐标的变换公式
空间点M(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的变换公式为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rsinφcosθ,y＝rsinφsinθ,z＝rcosφ)).
[思考·探究]
1.要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？
【提示】空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.
2.在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r＝1分别表示空间中的什么曲面？
【提示】柱坐标系中，ρ＝1表示以z轴为中心，以1为半径的圆柱面；球坐标系中，方程r＝1表示球心在原点的单位球面.
[自主·测评]
1.在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为(2，eq\f(π,4)，3)，P在xOy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为()
A.(2,0,3) B.(2，eq\f(π,4)，0)
C.(eq\r(2)，eq\f(π,4)，3) D.(eq\r(2)，eq\f(π,4)，0)
【解析】由点的空间柱坐标的意义可知，选B.
【答案】B
2.已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为()
A.(1,1,0) B.(1,0,1)
C.(0,1,1) D.(1,1,1)
【解析】x＝ρ·cosθ＝1cosθ＝1，y＝ρsinθ＝0，z＝1.
【答案】B
3.设点M的直角坐标为(－1，－eq\r(3)，3)，则它的柱坐标是()
A.(2，eq\f(π,3)，3) B.(2，eq\f(2π,3)，3)
C.(2，eq\f(4π,3)，3) D.(2，eq\f(5π,3)，3)
【解析】∵ρ＝eq\r(－12＋－\r(3)2)＝2，
tanθ＝eq\f(－\r(3),－1)＝eq\r(3)，
∴θ＝eq\f(π,3)或eq\f(4,3)π.
又∵M的直角坐标中x＝－1，y＝－eq\r(3)，
∴排除θ＝eq\f(π,3)，∴θ＝eq\f(4,3)π.
∴M的柱坐标为(2，eq\f(4π,3)，3).
【答案】C
4.设点M的直角坐标为(－1，－1,0)，则它的球坐标为()
【导学号：62790006】
A.(eq\r(2)，eq\f(π,4)，0) B.(eq\r(2)，eq\f(5π,4)，eq\f(π,2))
C.(2，eq\f(5π,4)，0) D.(2,0，eq\f(π,4))
【解析】由坐标变换公式，
得r＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(2)，cosφ＝eq\f(z,r)＝0，
∴φ＝eq\f(π,2).
∵tanθ＝eq\f(y,x)＝1，∴θ＝eq\f(5,4)π.
【答案】B
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
类型一点的柱坐标与直角坐标互化
设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐标.
【精彩点拨】已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式eq\b\lc\{\