3 柱坐标系和球坐标系.docx

§3柱坐标系和球坐标系
1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法.(重点)
2.理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.(重点)
3.体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别.(易错易混点)
[基础·初探]
教材整理1柱坐标系和球坐标系
1.柱坐标系
如图1­3­1，建立空间直角坐标系O­xyz.设M(x，y，z)为空间一点，并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r，θ)，则这样的三个数r，θ，z构成的有序数组(r，θ，z)就叫作点M的柱坐标，这里规定r，θ，z的变化范围为0≤r＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z＜＋∞.
图1­3­1
特别地，
r＝常数，表示的是以z轴为轴的圆柱面；
θ＝常数，表示的是过z轴的半平面；
z＝常数，表示的是与xOy平面平行的平面.
2.球坐标系
设M(x，y，z)为空间一点，点M可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O到点M间的距离，φ为有向线段eq\o(OM,\s\up10(→))与z轴正方向所夹的角，θ为从z轴正半轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段eq\o(OP,\s\up10(→))的角，这里P为点M在xOy平面上的投影(如图1­3­2).这样的三个数r，φ，θ构成的有序数组(r，φ，θ)叫作点M的球坐标，这里r，φ，θ的变化范围为0≤r<＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.
图1­3­2
特别地，
r＝常数，表示的是以原点为球心的球面；
φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；
θ＝常数，表示的是过z轴的半平面.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同.()
(2)在柱坐标系M(r，θ，z)中，θ表示OM与y轴所成的角.()
(3)球坐标中，r表示OM的长度.()
【解析】(1)√柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同.
(2)×θ表示OM与x轴所成的角.
(3)√球坐标中r表示OM的长度.
【答案】(1)√(2)×(3)√
教材整理2空间中点的坐标之间的变换公式
设空间一点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，则
空间直角坐标柱坐标系球坐标系(x，y，z)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ,y＝rsinθ,z＝z))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rsinφcosθ,y＝rsinφsinθ,z＝rcosφ))填空：
(1)柱坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)，1))的直角坐标是________.
(2)球坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,4)，\f(π,6)))的直角坐标是________.
【解析】(1)x＝2coseq\f(π,3)＝1，y＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3)，z＝1.
所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)，1))的直角坐标是(1，eq\r(3)，1).
(2)x＝4×sineq\f(π,4)×coseq\f(π,6)＝eq\r(6)，
y＝4×sineq\f(π,4)×sineq\f(π,6)＝eq\r(2)，
z＝4coseq\f(π,4)＝2eq\r(2).
∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,4)，\f(π,6)))的直角坐标是(eq\r(6)，eq\r(2)，2eq\r(2)).
【答案】(1)(1,eq\r(3)，1)(2)(eq\r(6)，eq\r(2)，2eq\r(2))
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
把点的柱坐标化为直角坐标根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标.
(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,6)，3))；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)，5)).
【精彩点拨】eq\x(柱坐标)eq\o(――→,\s\up10(x＝rcosθ),\s\do5(\o(y＝rsinθ,\s\do15(z＝z))))eq\x(直角坐标)
【自主解答】设点的直角坐标为(x，y，z).
(1)∵(r，θ，z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(