余弦定理[].doc

1.2余弦定理
学习目标：1.了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三角形度量问题时的作用．(难点)2.掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(重点)
[自主预习·探新知]
余弦定理
阅读教材P49～P50例4以上部分，完成下列问题．
语言表述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号表示a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC推论cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)作用实现三角形边与角的互化.思考：(1)余弦定理和勾股定理有什么关系？
[提示]余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
(2)观察余弦定理的符号表示及推论，你认为余弦定理可用来解哪类三角形？
[提示]①已知两边及其夹角，解三角形；
②已知三边，解三角形．
[基础自测]
1．判断正误
(1)若已知两边和一边所对的角，不能用余弦定理解三角形．()
(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC是锐角三角形．()
(3)在△ABC中，若已知a∶b∶c＝1∶eq\r(3)∶2，可以解三角形．()
[解析](1)错误，如已知a，b和A，可利用公式a2＝b2＋c2－2bccosA求c，进而可求角B和C.
(2)错误，由b2＋c2＞a2和cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)可得cosA＞0，则A是锐角，但角B或C可能是钝角，△ABC未必是锐角三角形．
(3)错误，已知△ABC三边的比值，可求其三角，但不能求出三角形的三边，即不能解三角形．
[答案](1)×(2)×(3)×
2．在△ABC中，符合余弦定理的是()
A．c2＝a2＋b2－2abcosC B．c2＝a2－b2－2bccosA
C．b2＝a2－c2－2bccosA D．cosC＝eq\f(a2＋b2＋c2,2ab)
A[由余弦定理知选A.]
3．在△ABC中，若已知a＝2，b＝3，c＝eq\r(5)，则cosA＝________.
【导学号：91022153】
[解析]cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(9＋5－4,2×3×\r(5))＝eq\f(\r(5),3).
[答案]eq\f(\r(5),3)
4．在△ABC中，已知A＝60°，b＝2，c＝1，则a＝________.
[解析]a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×eq\f(1,2)＝3，所以a＝eq\r(3).
[答案]eq\r(3)
[合作探究·攻重难]
利用余弦定理解三角形在△ABC中，
(1)已知a＝2eq\r(3)，c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，B＝45°，求b及A；
(2)已知b＝3，c＝3eq\r(3)，B＝30°，求角A，C和边a.
(3)已知a＝2eq\r(6)，b＝6＋2eq\r(3)，c＝4eq\r(3)，求A.
[解](1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(2eq\r(3))2＋(eq\r(6)＋eq\r(2))2－2×(eq\r(6)＋eq\r(2))×2eq\r(3)×cos45°＝8，
∴b＝2eq\r(2).
由cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，
得cosA＝eq\f(2\r(2)2＋\r(6)＋\r(2)2－2\r(3)2,2×2\r(2)×\r(6)＋\r(2))＝eq\f(1,2).
∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，
得32＝a2＋(3eq\r(3))2－2×3eq\r(3)a×cos30°，
即a2－9a＋18＝0，所以a＝6或a＝3.
当a＝6时，由正弦定理，得
sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(6,3)×eq\f(1,2)＝1，
所以A＝90°，C＝60°，当a＝3时，同理得A＝30°，C＝120°.
(3)由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6＋2\r(3)2＋4\r(3)2－2\r(6)2,2×6＋2\r(3)×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，又A∈(0，π)，所以A＝30°.
[规律方法]利用余弦定理解三角形的方法
(1)已知两边及一角解三角形有以下两种情况：
①若已知角是其中一边的对角，有两种解