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基于仿射算术和区间运算的直线与NURBS曲线曲面求交
基于仿射算术和区间运算的直线与NURBS曲线曲面求交
摘要：
在计算机图形学和计算几何中，直线与NURBS曲线曲面求交是一个重要的问题。本文提出一种基于仿射算术和区间运算的方法，用于求解直线与NURBS曲线曲面的交点。该方法通过将曲线和曲面的参数方程转化为仿射几何形式，并将求交问题转化为求解仿射方程组的问题。为了提高计算精度，本文引入了区间运算的概念，并将参数范围表示为闭区间。在求解仿射方程组时，利用闭区间的性质可以更准确地确定交点的位置。
关键词：直线，NURBS曲线曲面，仿射算术，区间运算
1.引言
直线与NURBS曲线曲面求交是计算机图形学和计算几何中的一个重要问题。NURBS曲线曲面是一种由非均匀有理B样条（Non-UniformRationalB-Spline,NURBS）表示的曲线曲面。它们具有很大的灵活性和逼真度，广泛应用于计算机辅助设计、虚拟现实等领域。求解直线与NURBS曲线曲面的交点是很多应用的基础，比如碰撞检测、路径规划等。
2.问题描述
给定一条直线和一个NURBS曲线曲面，求解它们的交点。直线可以表示为参数方程：
L(t)=P0+t*V，
其中P0是直线上的一点，V是直线的方向向量，t是定义直线上的点的参数。NURBS曲线曲面可以表示为参数方程：
C(u,v)=∑Ni(u,v)*Pi/Wi，
其中Ni(u,v)是控制点Pi的权重函数，u，v是参数。我们的目标是求解直线和曲线曲面的参数t，u，v，以及直线与曲线曲面的交点坐标P。
3.方法
为了求解交点，我们需要将直线和NURBS曲线曲面的参数方程转化为仿射几何形式。仿射几何是便于计算和求解问题的一种数学形式。我们可以将直线的参数t转化为直线上的点坐标X，得到仿射直线方程：
L(X)=A*X+B，
其中A是一个4x3的矩阵，B是一个4x1的向量。类似地，将曲线曲面的参数u，v转化为曲线曲面上的点坐标Y，得到仿射曲线曲面方程：
C(Y)=G*Y+H，
其中G是一个(n+1)x(n+1)的矩阵，H是一个(n+1)x1的向量，n是NURBS曲线曲面的控制点数。
为了提高计算精度，本文引入了区间运算的概念，并将参数t，u，v的范围表示为闭区间。闭区间是一种包含参数的范围的数学形式，可以更准确地确定交点的位置。在仿射方程组的求解过程中，我们使用区间运算来计算仿射矩阵和仿射向量的区间估计。然后，通过求解仿射方程组的区间估计来得到参数的区间范围，最终确定交点的区间坐标。
4.实验结果
我们在多个测试场景下进行了实验，并与传统的求交方法进行了比较。实验结果表明，基于仿射算术和区间运算的方法具有更高的计算精度和稳定性。它能够有效地求解直线与NURBS曲线曲面的交点，并在实际应用中取得了良好的效果。
5.总结与展望
本文提出了一种基于仿射算术和区间运算的方法，用于求解直线与NURBS曲线曲面的交点。该方法通过将曲线和曲面的参数方程转化为仿射几何形式，并利用区间运算的概念来提高计算精度。实验结果表明，该方法具有更高的精度和稳定性。未来的工作可以进一步优化算法，提高计算效率，并应用于更多的曲线曲面求交问题中。
参考文献：
[1]FoleyJD,vanDamA,FeinerSK,etal.ComputerGraphics:PrinciplesandPractice[M].Addison-WesleyProfessional,2013.
[2]PieglL,TillerW.TheNURBSBook[M].SpringerScience&BusinessMedia,2012.