高二数学选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理(精品)知识精讲.doc

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高二数学选修2－1空间向量的运算及空间向量的基本定理
北师大版（理）

【本讲教育信息】
一、教学内容：
选修2－1空间向量的运算及空间向量的基本定理

二、教学目标：
1.理解并掌握空间两个向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量、共面向量等基本概念。
2.熟练地掌握空间向量的加减运算、数乘运算、空间向量坐标运算的运算法则、运算律及空间向量的数量积的几何意义及性质。
3.熟练地掌握共线向量定理、空间向量的基本定理，并能利用它们讨论证明空间的线面关系。
4.体会用类比的数学思想、方程的数学思想、等价转化的数学思想解决问题。

三、知识要点分析：
（一）平面向量与空间向量的相同点：
1.向量夹角：过空间一点O作是向量与向量的夹角。
范围：[0，

2.加减运算：加减运算法则：向量的平行四边形法则（三角形法则）
运算律：结合律：，交换律：

3.数乘运算法则：向量a与实数的乘积是一个向量，记作：，满足
（i），（ii）当时，与方向相同，反之，相反。。
运算律：（i）
（ii）.
（iii）
4.空间向量的数量积：。。
运算律：交换律：
分配律：，=
性质：（1），（2），（3）
注：向量的数量积运算不满足乘法的结合律。即
5.共线向量定理：共线
6.直线的方向向量：空间直线L上有A，B两点，则向量称为L的方向向量
（二）平面向量与空间向量相似知识点：

平平面向量空间向量相相似知识点1.坐标运算：

，
）
，

2.向量积性质的坐标表示：
（1）
（2）

（3）cos=

3.共线向量定理坐标表示：
共线
4.平面向量基本定理：平面内不共线，平面内任意向量，有且只有一对实数使
5.相关的结论：
（1）重心坐标：

的重心G的坐标是：

（2）定比分点坐标：有向线段，A（，P（x，y）分所成的比是。则
1.坐标运算：，

2.向量积性质的坐标表示
（1）
（2）
=0
（3）cos
=
3.共线向量定理坐标表示：
共线
4.空间向量基本定理：
空间向量不共面，空间内任意向量有且只有一组实数使

5.相关的结论
（1）重心坐标：

重心G的坐标是：
（2）定比分点坐标：有向线段，A（，P（x，y，z）分所成的比是。则

【典型例题】
考点一：空间向量的基本计算
例1.已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点。点G在线段MN上。且使：MG=2GN，若，求X，Y，Z的值。
【思路分析】由已知M，N分别是对边OA、BC的中点，可以找出的关系。
再根据G是MN的三等分点，找出的关系
由上面的两个关系，可以用

解：。由M是OA的中点，N是BC的中点得：，
又
故
由MG=2GN
又

所求X，Y，Z的值是。

考点二：空间共线向量定理及空间向量基本定理的应用
例2.在棱长为1的正四面体OABC中，对于在空间一点P，是否存在三个唯一的实数，当这三个实数的和为1时，使最小，若存在，求出最小值，并指出P点的位置。若不存在，说明理由。
【思路分析】这是一道探索性的命题，假设存在三个实数X，Y，Z满足题设条件，再利用空间向量基本定理用X，Y，Z表示，当X+Y+Z=1时，采用空间向量的数量积的运算及不等式的知识解决。
解：由已知：不共线，故由空间向量基本定理得：（其中，X，Y，Z且X，Y，Z唯一）
，

=1－XY－XZ－YZ
而1=X+Y+Z
又，

故.P点在平面ABC内。
【另解】由，P点在平面ABC内。
最小时即是正四面体OABC的高。故
【说明】共面向量定理：若空间两个向量不共线，则向量共面的充要条件是：
存在唯一的一对实数x，y，使
推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是：存在有序实数对使

例3已知（1，2，3），（2，1，2），（1，1，2），O为原点，点Q在直线OP上运动，当取得最小值时，求点Q的坐标。
【思路分析】由已知得O，P，Q共线，可由共线向量定理表示的坐标，进而表示的坐标。然后利用函数方法解决。
解：由O，P，Q共线
，

故当取得最小值是－，此时，即Q点坐标为

考点三：利用空间向量研究平行、垂直问题
例4.在空间四面体ABCD中，（如图）
（1）AB，AC，AD两两垂直，求证：A点在平面BCD内的射影O是的垂心。
（2）三对对棱中点的连线相交于一点且在该点互相平分。

【思路分析】要证O是三角形BCD的垂心，如图；只要证明BO与CD垂直，CO与BD垂直。，当然也可不利用向量来证明。
（1）证明：，AO垂直于平面BCD

AB与AC，AB与AD垂直平面ACD

同理可证：CO，故O是三角形BCD的垂心。
（2）设分别是三对对棱中点连线EF，MN，GH的中点，设
则
同理：即点重合。命题得证。
注：空间四面体的重要性质要熟练地掌握，它是高考的考查重点