苏教版数学高二-选修2-1教案 -2 空间向量及其线性运算 共面向量定理.pdf

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3．1.1-2空间向量及其线性运算共面向量定理

●三维目标

1．知识与技能
(1)了解空间向量与平面向量的联系与区别．
(2)理解空间向量的线性运算及其性质．
(3)理解共面向量定理．
2．过程与方法
(1)学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历向量及其
运算由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程．
(2)通过类比平面向量基本定理，得出共面向量基本定理，并能利用共面向量基本定理
证明向量共面，学会判定与证明向量共面及四点共面的方法．
3．情感、态度与价值观
逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培
养学生的认知能力．
●重点难点

重点：了解空间向量与平面向量的联系与区别，理解空间向量的线性运算及其性质．
难点：共面向量定理的理解及应用．
先回顾平面向量的定义及线性运算法则，类比得出空间向量的有关定义及运算法则，并
通过空间图形进行严格的理论验证，从而突出教学重点．对于共面向量定理，完全可由平面
向量基本定理类比得出，重在应用其证明共面问题，通过例题，体现向量法证明线线平行、
线面平行的方法与步骤，从而突破教学难点．

●教学建议

本节内容是第三章《空间向量与立体几何》的第一节，由于是起始节，所以这节课中也
包含了章引言的内容．章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究
空间向量的概念和运算．向量是既有大小又有方向的量，它能像数一样进行运算，本身又是
一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的
应用．
本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分

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有效的工具．采用的教学方式是通过问题启发引导学生自主完成概念的探究过程，紧紧围绕
教学重点展开教学，并从教学过程的每个环节入手，努力突破教学难点．
●教学流程

回顾平面向量的定义，类比得出空间向量的定义、几何表示、符号表示；找出空间向量
与平面向量的区别与联系．⇒回顾平面向量的线性运算法则，得出空间向量的线性运算法则，
并通过空间图形加以验证，得出空间向量线性运算满足的运算律．理解单位向量、共线向量、
平行向量等概念，理解共线向量定理成立的条件及作用．⇒理解共面向量的定义，区分向量
共面与直线共面的区别，理解共面向量定理的内涵，会用共面向量定理证明向量共面，从而
证明立体几何问题如共面问题、线面平行问题等．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握空间
向量的线性运算法则，在常见的立体图形中，灵活的应用三角形和平行四边形法则进行空间
向量的运算，实现利用给定向量表示某一向量的目的．⇒通过例2及变式训练，使学生体会
共线向量定理的两个应用，正向可用来证明线线平行，逆用可用来求解字母参数，体会向量
法解证立体几何问题的步骤与规律．⇒通过例3及变式训练，使学生体会共面向量定理的两
个应用，正向可用来证明线面平行，四点共面，逆用可用来求解字母参数，体会向量法解证
立体几何问题的步骤与规律．⇒通过易错易误辨析，体会零向量的特殊性，在分析向量间关
系及向量运算时，应注意零向量的特殊性．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所
学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能
力.

1.了解空间向量与平面向量的联系与区别，理解空间向
量的线性运算及其性质，理解共线向量定理．(重点)
2．体会共面向量定理的推导过程，掌握共面向量定理，
课标解读
会用共面向量定理判定向量共面，会用共面向量定理，证明
线面平行问题．(难点)
3．向量共线与共面和直线共线与共面的区别．(易混点)

空间向量
在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量．

空间向量的线性运算
【问题导思】
→→→→
已知空间四边形ABCD，则AB＋BC＋CD＋DA＝0还成立吗？

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【提示】成立．根据向量的加法法则，表示相加向量的有向线段依次首尾相接，其和
→→→→→
为从第一个向量的首指向最后一个向量的尾，故AB＋BC＋CD＋DA＝AA＝0.向量加法可以
推广到有限个向量的和，并且可用口诀记忆：首尾首尾首指向尾．

空间向量的
定义(或法则)
线性运算

空间向量a与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa，满足：
大小：|λa|＝|λ||a|.方向：
空间向量的
当λ＞0时，λa与a方向相同；
数乘
当λ＜0时，λa与a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0.

共线向量定理
【问题导思】
共线向量一定是同一直线上的向量吗？
【提示】共线向量不一定是同一直线上的向量，而是表示向量的有向线段只要可以平
移到同一直线上即可，因此共线向量也叫平行向量．

对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a