高考数学一轮复习 课后限时集训13 导数的概念及运算（含解析）理-人教版高三全册数学试题.doc

课后限时集训(十三)
(建议用时：60分钟)
A组基础达标
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x－eq\f(ex,x)，f′(x)是f(x)的导函数，则f′(1)－f(1)＝()
A．2B．e C．1 D．－e
B[f′(x)＝1－eq\f(exx－1,x2)，则f′(1)＝1，又f(1)＝1－e，
所以f′(1)－f(1)＝1－(1－e)＝e，故选B.]
2．曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为()
A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0
C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0
C[由于y′＝e－eq\f(1,x)，所以y′|x＝1＝e－1，
故曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0，故选C.]
3．曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，则eq\f(a,b)的值为()
A．－eq\f(1,2e)B．－eq\f(2,e) C.eq\f(2,e) D.eq\f(1,2e)
D[y′＝ex＋xex，则y′|x＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，∴－eq\f(a,b)＝－eq\f(1,2e)，∴eq\f(a,b)＝eq\f(1,2e).]
4．(2019·广州模拟)已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为()
A．eB．－e C.eq\f(1,e) D．－eq\f(1,e)
C[设切点坐标为(x0，y0)，由y′＝eq\f(1,x)得y′|x＝x0＝eq\f(1,x0)，
由题意知eq\f(y0,x0)＝eq\f(1,x0)，即y0＝1，∴lnx0＝1，
解得x0＝e，因此切线的斜率为eq\f(1,e)，故选C.]
5．已知奇函数y＝f(x)在区间(－∞，0]上的解析式为f(x)＝x2＋x，则曲线y＝f(x)在横坐标为1的点处的切线方程是()
A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0
C．3x－y－1＝0 D．3x－y＋1＝0
B[当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x，
又f(－x)＝－f(x)，则－f(x)＝x2－x，即f(x)＝－x2＋x，
∴f′(x)＝－2x＋1，∴f′(1)＝－1，又f(1)＝0.
因此所求切线方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0，故选B.]
二、填空题
6．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
3[因为f(x)＝(2x＋1)ex，
所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
所以f′(0)＝3e0＝3.]
7．若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
eq\f(1,2)[因为y′＝2ax－eq\f(1,x)，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝eq\f(1,2).]
8．如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.

0[由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－eq\f(1,3)，即f′(3)＝－eq\f(1,3).
又因为g(x)＝xf(x)，
所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝0.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).
(1)求函数f(x)在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求过点P(2,4)的函数f(x)的切线方程．
[解](1)根据已知得点P(2,4)是切点且y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2))＝4，
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)与过点P(2,4)的切线相切于点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))，
则切线的斜率为y′eq\b\lc\|\rc\(\a\