高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时达标26 平面向量的数量积与平面向量应用举例-人教版高三全册数学试题.doc

第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例
[解密考纲]本考点重点考查平面向量的数量积及其几何意义，往往借助于数量积求模长、夹角、面积等，多以选择题、填空题的形式考查，题目难度中等偏难．
一、选择题
1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(D)
A．x＝－eq\f(1,2) B．x＝－1
C．x＝5 D．x＝0
解析由向量垂直的充要条件，得2(x－1)＋2＝0.解得x＝0.
2．已知非零向量a，b，|a|＝|b|＝|a－b|，则cos〈a，a＋b〉＝(C)
A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)
C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)
解析设|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1，
∴a·b＝eq\f(1,2)，∴a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).
∵|a＋b|＝eq\r(a2＋b2＋2a·b)＝eq\r(1＋1＋1)＝eq\r(3)，
∴cos〈a，a＋b〉＝eq\f(\f(3,2),1×\r(3))＝eq\f(\r(3),2).
3．已知向量|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝4，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝4，则以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))为邻边的平行四边形的面积为(A)
A．4eq\r(3) B．2eq\r(3)
C．4 D．2
解析因为cos∠AOB＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|)＝eq\f(4,2×4)＝eq\f(1,2)，所以∠AOB＝60°，sin∠AOB＝eq\f(\r(3),2).所以所求的平行四边形的面积为|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OB,\s\up6(→))|·sin∠AOB＝4eq\r(3)，故选A．
4．(2018·山西四校二联)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的正弦值为(D)
A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(\r(3),2)
C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)
解析∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2)，又〈a，b〉∈[0，π]，∴sin〈a，b〉＝eq\r(1－cos2〈a，b〉)＝eq\f(\r(3),2)，故选D．
5．(2018·甘肃兰州模拟)若△ABC的三个内角A，B，C度数成等差数列，且(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，则△ABC一定是(C)
A．等腰直角三角形 B．非等腰直角三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
解析因为(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，所以(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝0，所以eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝0，即|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，又A，B，C度数成等差数列，故2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，所以2B＝π－B，所以3B＝π，B＝eq\f(π,3)，故△ABC是等边三角形．
6．(2018·福建厦门模拟)在△ABC中，∠A＝120°，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－1，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最小值是(C)
A．eq\r(2) B．2
C．eq\r(6) D．6
解析由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos120°＝－