【全程复习方略】（浙江专用）2013版高考数学 5.3柯西不等式课时体能训练 理 新人教A版选修4.doc

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【全程复习方略】（浙江专用）2013版高考数学5.3柯西不等式课时体能训练理新人教A版选修4
1.(2012·南京模拟)若正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求eq\f(1,3a＋2)＋eq\f(1,3b＋2)＋eq\f(1,3c＋2)的最小值.
2.已知x，y，z为正实数，且eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝1，求x＋4y＋9z的最小值及取得最小值时x，y，z的值.
3.若a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝6，求eq\r(2a)＋eq\r(2b＋1)＋eq\r(2c＋3)的最大值.
4.设P是三角形ABC内的一点，x，y，z是P到三边a，b，c的距离，R是△ABC外接圆的半径，证明eq\r(x)＋eq\r(y)＋eq\r(z)≤eq\f(1,\r(2R))eq\r(a2＋b2＋c2).
5.已知a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝3，eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)≤|x－2|＋|x－m|对任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围.
6.(易错题)已知x，y，z为实数，且x＋2y＋3z＝eq\r(7)，
(1)求x2＋y2＋z2的最小值；
(2)设|2t－1|＝x2＋y2＋z2，求实数t的取值范围.
7.已知a，b，c为实数，且a＋b＋c＋2－2m＝0，a2＋eq\f(1,4)b2＋eq\f(1,9)c2＋m－1＝0.
(1)求证：a2＋eq\f(1,4)b2＋eq\f(1,9)c2≥eq\f((a＋b＋c)2,14)；
(2)求实数m的取值范围.
8.设a，b，c，d是4个不全为零的实数，求证：eq\f(ab＋2bc＋cd,a2＋b2＋c2＋d2)≤eq\f(\r(2)＋1,2).
9.已知函数f(x)＝x＋eq\f(1,x－1)，x>1，且不等式f(x)≥a2＋b2＋c2对任意x>1恒成立.
(1)试求函数f(x)的最小值；
(2)试求a＋2b＋2c的最大值.
10.(2012·南安模拟)将12cm长的细铁线截成三条长度分别为a、b、c的线段，
(1)求以a、b、c为长、宽、高的长方体的体积的最大值；
(2)若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.

答案解析
1.【解析】因为正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，
所以(eq\f(1,3a＋2)＋eq\f(1,3b＋2)＋eq\f(1,3c＋2))[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥(1＋1＋1)2，
即eq\f(1,3a＋2)＋eq\f(1,3b＋2)＋eq\f(1,3c＋2)≥1，当且仅当3a＋2＝3b＋2＝3c＋2，即a＝b＝c＝eq\f(1,3)时，原式取最小值1.
2.【解题指南】因为eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝1，所以可构造x＋4y＋9z＝[(eq\f(1,\r(x)))2＋(eq\f(1,\r(y)))2＋(eq\f(1,\r(z)))2][(eq\r(x))2＋(2eq\r(y))2＋(3eq\r(z))2]，然后利用柯西不等式求解.
【解析】由柯西不等式得x＋4y＋9z
＝[(eq\r(x))2＋(2eq\r(y))2＋(3eq\r(z))2]·
[(eq\f(1,\r(x)))2＋(eq\f(1,\r(y)))2＋(eq\f(1,\r(z)))2]
≥(eq\r(x)·eq\f(1,\r(x))＋2eq\r(y)·eq\f(1,\r(y))＋3eq\r(z)·eq\f(1,\r(z)))2＝36.
当且仅当x＝2y＝3z时等号成立，此时x＝6，y＝3，z＝2，所以当x＝6，y＝3，z＝2时，x＋4y＋9z取得最小值36.
3.【解析】由柯西不等式得
(eq\r(2a)＋eq\r(1＋2b)＋eq\r(3＋2c))2＝(1×eq\r(2a)＋1×eq\r(2b＋1)＋1×eq\r(2c＋3))2
≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)
＝3(2×6＋4)＝48.
∴eq\r(2a)＋eq\r(1＋2b)＋eq\r(3＋2c)≤4eq\r(3).
当且仅当eq\r(2a)＝eq\r(2b＋1)＝eq\r(2c＋3)即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立，
又a＋b＋c＝6，∴a＝eq\f(8,3)，b＝eq