高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理-人教版高三全册数学试题.doc

第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算理

1．导数与导函数的概念
(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)[eq\f(fx,gx)]′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【知识拓展】
1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2.[eq\f(1,fx)]′＝－eq\f(f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．
3.[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)
(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(×)
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)
(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．(×)

1．(教材改编)若f(x)＝x·ex，则f′(1)等于()
A．0B．eC．2eD．e2
答案C
解析f′(x)＝ex＋x·ex，∴f′(1)＝2e.
2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()

答案D
解析由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.
3．某质点的位移函数是s(t)＝2t3－eq\f(1,2)gt2(g＝10m/s2)，则当t＝2s时，它的加速度是()
A．14m/s2 B．4m/s2
C．10m/s2 D．－4m/s2
答案A
解析由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，
a(t)＝v′(t)＝12t－g，
当t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14.
4．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′(eq\f(π,2))sinx＋cosx，则f′(eq\f(π,4))＝.
答案－eq\r(2)
解析因为f(x)＝f′(eq\f(π,2))sinx＋cosx，
所以f′(x)＝f′(eq\f(π,2))cosx－sinx，
所以f′(eq\f(π,2))＝f′(eq\f(π,2))coseq\f(π,2)