高中数学 第二章 数列 2.2.3 等差数列的前n项和（一）学案 苏教版必修5-苏教版高一必修5数学学案.doc

2.2.3等差数列的前n项和(一)
学习目标1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．

知识点一等差数列前n项和公式的推导
思考高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？

梳理“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和，其方法如下：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an
＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]；
Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1
＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d]．
两式相加，得2Sn＝n(a1＋an)，
由此可得等差数列{an}的前n项和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2).
根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，
代入上式可得Sn＝na1＋____________.

知识点二等差数列前n项和公式的特征
思考1等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？

思考2我们对等差数列的通项公式变形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d吗？

梳理等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形：
(1)Sn＝n·eq\f(a1＋an,2)；
(2)Sn＝eq\f(d,2)n2＋(a1－eq\f(d,2))n；
(3)eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)n＋(a1－eq\f(d,2))({eq\f(Sn,n)}是公差为eq\f(d,2)的等差数列)．
知识点三等差数列前n项和公式的性质
思考如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？

梳理Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.

类型一等差数列前n项和公式的应用

命题角度1方程思想
例1已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？

反思与感悟(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用；
(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．
跟踪训练1在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.

命题角度2实际应用
例2某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？

反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解．
跟踪训练2甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？

类型二等差数列前n项和的性质的应用
例3(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(7n＋2,n＋3)，求eq\f(a5,b5)的值．

反思与感悟等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
跟踪训练3设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前n项和，求Tn.

1．在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是_____