高中数学 第2章 数列 2.3 等差数列的前n项和学案 苏教版必修5-苏教版高一必修5数学学案.doc

等比数列的概念与通项公式一、考点突破知识点课标要求题型说明等差数列的前n项和1.掌握等差数列前n项和的公式并能运用公式解决一些简单问题；2.体会等差数列前n项和公式与二次函数间的关系选择题填空题等差数列前n项和还要注意两点：公式推导的方法和函数的思想二、重难点提示重点：运用等差数列前n项和的公式解决一些问题。难点：等差数列前n项和公式与二次函数间的关系。考点一：等差数列前n项和公式及推导（1）等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋（2）等差数列的前n项和公式的推导：∵Sn＝a1＋a2＋…＋anSn＝an＋an－1＋…＋a1∴2Sn＝（a1＋an）＋（a2＋an－1）＋…＋（an＋a1）＝n（a1＋an）∴Sn＝n（a1＋an）这种推导方法称为倒序求和法。【核心突破】（1）由等差数列的前n项和公式及通项公式可知若已知a1、d、n、an、Sn中三个便可求出其余两个即“知三求二”。“知三求二”的实质是方程思想即建立方程组求解。（2）在运用等差数列的前n项和公式来求和时一般地若已知首项a1及末项an用公式Sn＝较方便；若已知首项a1及公差d用公式Sn＝na1＋d较好。（3）在运用公式Sn＝求和时要注意性质“设m、n、p、q均为正整数若m＋n＝p＋q则am＋an＝ap＋aq”的运用。（4）在求和时除了直接用等差数列的前n项和公式求和（即已知数列是等差数列）外还要注意创设运用公式条件（即将非等差数列问题转化为等差数列问题）以利于求和。考点二：等差数列前n项和的性质数列{an}为等差数列前n项和为Sn则有如下性质：（1）SmS2m－SmS3m－S2m…也是等差数列公差为m2d。（2）若项数为偶数2n（n∈N*）则S偶－S奇＝nd＝。（3）若项数为奇数2n＋1（n∈N*）则S奇－S偶＝an＋1＝。（4）若{an}、{bn}均为等差数列前n项和分别为Sn和Tn则。考点三：等差数列前n项和的最值解决等差数列前n项和的最值的基本思想是利用前n项和公式与函数的关系解决问题即：（1）二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求前n项和的最值但要注意的是：。（2）图象法：利用二次函数的对称性来确定的值使取最值。（3）通项法：当时为使成立的最大的自然数时最大。这是因为当时即递增；当时即递减。类似的当时则为使成立的最大的自然数时最小。例题1（等差数列前n项和公式的应用）在等差数列{an}中前n项和为Sn。（1）已知S8＝48S12＝168求a1和d；（2）已知a6＝10S5＝5求a8和S8；（3）已知a3＋a15＝40求S17。思路分析：（1）利用前n项和公式建立关于a1、d的方程组解方程组求a1、d；（2）根据前n项和公式求a1、d再求a8和S8；（3）先根据等差数列的性质求a1＋a17再求S17。答案：（1）由等差数列的前n项和公式得解得（2）∵a6＝S6－S5∴S6＝S5＋a6＝15∴×6＝15即3（a1＋10）＝15∴a1＝－5∴d＝＝3∴a8＝a6＋2d＝16S8＝×8＝44；（3）根据等差数列的性质有a3＋a15＝a1＋a17＝40∴S17＝＝340。技巧点拨：1.本题第（3）问看似缺少条件但注意到a3＋a15与a1＋a17的联系便可以很容易地求出结果所以应注意各元素之间的某些特殊联系。2.对于两个求和公式Sn＝和Sn＝na1＋要根据题目的已知条件灵活选用。例题2（等差数列前n项和的最值）已知等差数列{an}中a1＝13且S3＝S11那么n取何值时Sn取得最大值？并求出Sn的最大值。思路分析：先根据前n项和公式求公差d再求出Sn的表达式转化成二次函数在N*上的最值问题；也可求出公差d后利用通项公式an的符号解决。答案：方法一设公差为d由S3＝S11得3×13＋d＝11×13＋dd＝－2又a1＝13∴Sn＝n2＋（a1－）n＝－n2＋14n＝－（n－7）2＋49∴当n＝7时Sn取得最大值最大值是S7＝49；方法二同方法一得d＝－2an＝13－2（n－1）＝15－2n由即解得6.5≤n≤7.5∴当n＝7时Sn取得最大值∴Sn的最大值是S7＝＝49；方法三同方法一得d＝－2又由S3＝S11知a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝4（a7＋a8）＝0∵a1＝13＞0∴a7≥0a8≤0知数列的前7项和最大∴S7＝7×13＋×（－2）＝49。技巧点拨：1.本题中方法一利用二次函数的最值确定n值；方法二利用等差数列的通项公式确定n值；方法三利用等差数列的性质由条件本身的特点确定n值。2.求等差数列前n项和的最值的常见方法：（1）方法一：利用通项公式确定n值①若a1＞0d＜0则Sn有最大值n可由不等式组来确定；②若a1＜0d＞0则Sn有最小值n可由不等式组来确定。（2）方法二：利用二次函数的最值确定n值等差数列的前n项和为