高中数学 第2章 数列 2.2.3 等差数列的前n项和学案 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学学案.doc

152．2.3等差数列的前n项和1.掌握等差数列的求和公式在解题中的运用．2.理解等差数列前n项和公式的性质并会简单运用．3．初步体会等差数列前n项和公式在实际问题中的运用．[学生用书P26])1．数列前n项和Sn与an的关系(1)Sn的记法：数列{an}中前n项的和记为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an.(2)an与Sn的关系：若数列的前n项和为Sn则通项公式an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1n＝1Sn－Sn－1n≥2.))2．等差数列的前n项和公式(1)公式1：Sn＝eq\f(n（a1＋an）2)．(2)公式2：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）2)d．3．倒序相加法如果一个数列{an}与首末两项等距离两项之和等于首末两项之和可采用正着写和与倒着写和的两个式子相加就得到数列{an}的前n项和．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”错误的打“×”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起一直到第n项an所有项的和．()(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．()(3)在等差数列{an}中当项数m为偶数2n时则S偶－S奇＝an＋1.()解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{an}中Sn＝n2＋2.当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又因为a1＝S1＝3所以a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时则S偶－S奇＝nd.答案：(1)√(2)×(3)×2．等差数列{an}中a1＝1d＝1则其前n项和Sn＝________．解析：因为a1＝1d＝1所以Sn＝n＋eq\f(n（n－1）2)×1＝eq\f(2n＋n2－n2)＝eq\f(n2＋n2)＝eq\f(n（n＋1）2).答案：eq\f(n（n＋1）2)3．设等差数列{an}的前n项和为Sn若a1＝eq\f(12)S4＝20则S6＝________．解析：设等差数列{an}的公差为d由已知得4a1＋eq\f(4×32)×d＝20即4×eq\f(12)＋eq\f(4×32)d＝20解得d＝3所以S6＝6×eq\f(12)＋eq\f(6×52)×3＝3＋45＝48.答案：484．已知等差数列{an}前9项的和为27a10＝8则a100＝________．解析：法一：因为{an}是等差数列设其公差为d所以S9＝eq\f(92)(a1＋a9)＝9a5＝27所以a5＝3.又因为a10＝8所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝3a1＋9d＝8))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－1d＝1.))所以a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.法二：因为{an}是等差数列所以S9＝eq\f(92)(a1＋a9)＝9a5＝27所以a5＝3.在等差数列{an}中a5a10a15…a100成等差数列且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.答案：98与等差数列前n项和Sn有关的基本运算[学生用书P26]在等差数列{an}中．(1)a1＝eq\f(56)an＝－eq\f(32)Sn＝－5求n和d；(2)a1＝4S8＝172求a8和d；(3)已知d＝2an＝11Sn＝35求a1和n.【解】(1)由题意得eq\f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(56)－\f(32)))2)＝－5解得n＝15.又a15＝eq\f(56)＋(15－1)d＝－eq\f(32)所以d＝－eq\f(16).(2)由已知得S8＝eq\f(8（a1＋a8）2)＝eq\f(8（4＋a8）2)＝172解得a8＝39又因为a8＝4＋(8－1)d＝39所以d＝5.(3)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＝a1＋（n－1）dSn＝na1＋\f(n（n－1）2)d))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋2（n－1）＝11na1＋\f(n（n－1）2)×2＝35))解方程组得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝5a1＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝7a1＝－1.))eq\a\vs4\al()等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1