高中数学 第二章 数列 2.2.3 等差数列的前n项和（二）学案 苏教版必修5-苏教版高一必修5数学学案.doc

2.2.3等差数列的前n项和(二)学习目标1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.2.会解等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系能根据Sn求an.知识点一数列中an与Sn的关系思考1已知数列{an}的前n项和Sn＝n2怎样求a1an?梳理对任意数列{an}Sn与an的关系可以表示为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝1n≥2n∈N*.))思考2在数列{an}中已知Sn＝an2＋bn＋c(abc为常数)这个数列一定是等差数列吗？知识点二等差数列前n项和的最值思考我们已经知道当公差d≠0时等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝eq\f(d2)n2＋(a1－eq\f(d2))n类比二次函数的最值情况等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？梳理等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关．(1)若a1>0d<0则数列的前面若干项为正项(或0)所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．(2)若a1<0d>0则数列的前面若干项为负项(或0)所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．(3)若a1>0d>0则{Sn}是递增数列S1是{Sn}的最小值；若a1<0d<0则{Sn}是递减数列S1是{Sn}的最大值．类型一已知数列{an}的前n项和Sn求an例1已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋eq\f(12)n求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是它的首项与公差分别是什么？引申探究例1中前n项和改为Sn＝n2＋eq\f(12)n＋1求通项公式．反思与感悟已知前n项和Sn求通项an先由n＝1时a1＝S1求得a1再由n≥2时an＝Sn－Sn－1求得an最后验证a1是否符合an若符合则统一用一个解析式表示．不符合则分段．跟踪训练1已知数列{an}的前n项和Sn＝3n求an.类型二等差数列前n项和的最值例2已知等差数列54eq\f(27)3eq\f(47)…的前n项和为Sn求使得Sn最大的序号n的值．反思与感悟在等差数列中求Sn的最大(小)值其思路是找出某一项使这项及它前面的项皆取正(负)值或零而它后面的各项皆取负(正)值则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数也可借助二次函数的图象或性质求解．跟踪训练2在等差数列{an}中an＝2n－14试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值．类型三求等差数列前n项的绝对值之和例3若等差数列{an}的首项a1＝13d＝－4记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|求Tn.反思与感悟求等差数列{an}前n项的绝对值之和根据绝对值的意义应首先分清这个数列的哪些项是负的哪些项是非负的然后再分段求出前n项的绝对值之和．跟踪训练3已知数列{an}中Sn＝－n2＋10n数列{bn}的每一项都有bn＝|an|求数列{bn}的前n项和Tn的表达式．1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n则an＝________.2．已知数列{an}为等差数列它的前n项和为Sn若Sn＝(n＋1)2＋λ则λ的值是________．3．首项为正数的等差数列前n项和为Sn且S3＝S8当n＝________时Sn取到最大值．4．已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n求an.1．因为an＝Sn－Sn－1只有n≥2时才有意义所以由Sn求通项公式an＝f(n)时要分n＝1和n≥2两种情况分别计算然后验证两种情况可否用统一解析式表示若不能则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n项和最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值但要注意n∈N*结合二次函数图象的对称性来确定n的值更加直观．(2)通项法：当a1>0d<0当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0an＋1≤0))时Sn取得最大值；当a1<0d>0当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0an＋1≥0))时Sn取得最小值．3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和关键是找到数列{an}的正负项的分界点．答案精析问题导学知识点一思考1a1＝S1＝1；当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1又n＝1时也适合上式所以an＝2n－1n∈N*.梳理S1Sn－Sn－1思考2当n＝1时a1＝S1＝a＋b＋c；当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝(an2＋bn＋c)－[a(n－1)2＋b(n－1)＋c]＝2an－a＋b.∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋cn