高中数学 第二章 平面向量 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案.doc

2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例

1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题.(重点)
2.体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具.(重点)
3.培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力.(难点)

[基础·初探]
教材整理1平面几何中的向量方法
阅读教材P109～P110例2以上内容，完成下列问题.
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若△ABC是直角三角形，则有eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.()
(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，则直线AB与CD平行.()
【解析】(1)错误.因为△ABC为直角三角形，∠B并不一定是直角，有可能是∠A或∠C为直角.
(2)错误.向量eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))时，直线AB∥CD或AB与CD重合.
【答案】(1)×(2)×
教材整理2向量在物理中的应用
阅读教材P111例3至P112例4以上内容，完成下列问题.
1.物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等.
2.向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解.
3.动量mv是向量的数乘运算.
4.功是力F与所产生的位移s的数量积.

已知力F＝(2,3)作用在一物体上，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则F对物体所做的功为________焦耳.
【解析】由已知位移eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4,3)，∴力F做的功为W＝F·eq\o(AB,\s\up6(→))＝2×(－4)＋3×3＝1.
【答案】1

[小组合作型]

向量在平面几何中的应用
如图2­5­1，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且AE，CD交于点P，求证：BP⊥DC.

图2­5­1
【精彩点拨】先表示出图中向量对应的线段，再计算所需向量的数量积.
【自主解答】设eq\o(PD,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))，并设正三角形ABC的边长为a，则有：eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))，
eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(BA,\s\up6(→))－\o(BC,\s\up6(→))))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(2λ＋1)eq\o(BA,\s\up6(→))－λeq\o(BC,\s\up6(→)).
又eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(EA,\s\up6(→))，
∴eq\f(1,3)(2λ＋1)eq\o(BA,\s\up6(→))－λeq\o(BC,\s\up6(→))＝keq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)keq\o(BC,\s\up6(→))，
于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)2λ＋1＝k，,λ＝\f(1,3)k，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,7)，,k＝\f(3,7)，))
∴eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\f(1,7)eq\o(CD,\s\up6(→))，
∴eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,7)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(4,7)eq\o(BA,\s\up6(