高考数学一轮复习 第9章 统计与统计案例 9.2 用样本估计总体学案 理-人教版高三全册数学学案.doc

9．2用样本估计总体

[知识梳理]
1．用样本的频率分布估计总体分布
(1)频率分布：样本中所有数据(或者数据组)的频数和样本容量的比，就是该数据的频率，所有数据(或者数据组)的频率的分布变化规律叫做频率分布．
(2)作频率分布直方图的步骤：①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．
在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1.
(3)频率分布折线图和总体密度曲线
①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线．
(4)①茎叶图：统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图，茎是指中间一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．
当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便．
②茎叶图的画法步骤
第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；
第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左(右)侧；有两组数据时，写在中间；
第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧．
2．样本的数字特征
(1)众数、中位数、平均数

(2)方差和标准差
方差和标准差反映了数据波动程度的大小．
方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up14(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up14(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up14(－)))2]，
标准差：
s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up14(－))2＋x2－\o(x,\s\up14(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up14(－))2]).
(3)关于平均数、方差的有关性质
①若x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up14(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为meq\o(x,\s\up14(－))＋a.
②数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变．
③若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
(4)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差，方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
3．各种统计表的优点与不足

[诊断自测]
1．概念思辨
(1)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．()
(2)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．()
(3)在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越高．()
(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．()
答案(1)√(2)√(3)√(4)×
2．教材衍化

(1)(必修A3P70例题)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()
A．91.5和91.5 B．91.5和92
C．91和91.5 D．92和92
答案A
解析这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，
∴中位数是eq\f(91＋92,2)＝91.5，
平均数eq\o(x,\s\up14(－))＝eq\f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.故选A.
(2)(必修A3P82T7)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()

A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
答案C
解析由图可得，eq\o(x,\s\up14(－))甲＝eq\f(4＋5＋6＋7＋8,5)＝6，eq\o(x,\s\up14(－))乙＝eq\f(3×5＋6＋9,5)＝6，故A错误；甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B错误；seq\o\al(2,甲)＝2，seq\o\al(2,乙)＝2.4，故C正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D错误．故选C.
3．小题热身

(1)右面茎叶图记录了甲、乙两组各