高中数学 第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.1 直线与直线垂直学案（含解析）新人教A版必修第二册-新人教A版高一必修第二册数学学案.doc

8.6空间直线、平面的垂直
8．6.1直线与直线垂直
[目标]理解异面直线的定义，会求两异面直线所成角．
[重点]异面直线的定义及两异面直线所成的角；直线与直线垂直的证明．
[难点]求两异面直线所成的角．
要点整合夯基础
知识点异面直线所成的角
[填一填]

[答一答]
1．在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？
提示：根据等角定理可知，异面直线a′与b′所成角的大小与点O的位置无关．但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)．

2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为65°.

提示：∵B1C1∥BC，∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB＝90°－25°＝65°.

典例讲练破题型
类型一异面直线所成的角
[例1]如图，P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝2eq\r(5)，D、E分别为PC和AB的中点，且DE＝3.求异面直线PA和BC所成角的大小．

[分析](1)PA、BC移至同一个三角形中．(2)找出PA和BC所成的角．
[解]如图，取AC中点F，连接DF、EF，在△PAC中，

∵D是PC中点，F是AC中点，
∴DF∥PA，同理可得EF∥BC，
∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角)．
在△DEF中，DE＝3，
又DF＝eq\f(1,2)PA＝2，EF＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(5)，
∴DE2＝DF2＋EF2.
∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.

eq\a\vs4\al(求两异面直线所成的角的三个步骤,1作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；,,,)
2证：证明作出的角就是要求的角；
3计算：求角的值，常利用解三角形得出.,可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角α的取值范围为0°<α≤90°.

[变式训练1]如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：

(1)BE与CG所成的角．
(2)FO与BD所成的角．
解：(1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.
(2)如图，连接FH，因为HD∥EA，

EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，
所以四边形HFBD为平行四边形，
所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，
又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，
即FO与BD所成的角为30°.
类型二线线垂直的证明与应用
[例2]直三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1.证明：AB1⊥MN.
[分析]先找到异面直线AB1与MN所成角，再利用勾股定理进行证明．
[证明]由题得MN∥B1C，
所以∠AB1C就是异面直线AB1与MN所成角或补角．
由题得AC＝eq\r(4＋1－2×2×1×cos\f(2π,3))＝eq\r(7)，
AB1＝eq\r(5)，B1C＝eq\r(2)，
因为(eq\r(2))2＋(eq\r(5))2＝(eq\r(7))2，
∴∠AB1C＝eq\f(π,2)，
所以AB1⊥MN.

证明空间中的异面直线的垂直问题，往往先作出异面直线所成的角，再利用勾股定理进行证明.
[变式训练2]如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1相互垂直，试求AA1的长．

解：连接CD1，AC，如图．

由题意得四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角．
∵异面直线A1B和AD1相互垂直，
∴∠AD1C＝90°.
∵四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2eq\r(3)，且侧面都是矩形，
∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝eq\f(\r(2),2)AC.
∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，
∴AC＝2eq\r(3)×sin60°×2＝6，AD1＝eq\f(\r(2),2)AC＝3eq\r(2)，
∴AA1＝eq\r(AD\o\al(2,1)－A1D\o\al(2,