高中数学 第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.1 直线与直线垂直学案（含解析）新人教A版必修第二册-新人教A版高一必修第二册数学学案.doc

8.6空间直线、平面的垂直8．6.1直线与直线垂直[目标]理解异面直线的定义会求两异面直线所成角．[重点]异面直线的定义及两异面直线所成的角；直线与直线垂直的证明．[难点]求两异面直线所成的角．要点整合夯基础知识点异面直线所成的角[填一填][答一答]1．在异面直线所成角的定义中角的大小与点O的位置有关系吗？提示：根据等角定理可知异面直线a′与b′所成角的大小与点O的位置无关．但是为了简便点O常取在两条异面直线中的一条上特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)．2．如图在正方体ABCD­A1B1C1D1中∠BAE＝25°则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为65°.提示：∵B1C1∥BC∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB＝90°－25°＝65°.典例讲练破题型类型一异面直线所成的角[例1]如图P是平面ABC外一点PA＝4BC＝2eq\r(5)D、E分别为PC和AB的中点且DE＝3.求异面直线PA和BC所成角的大小．[分析](1)PA、BC移至同一个三角形中．(2)找出PA和BC所成的角．[解]如图取AC中点F连接DF、EF在△PAC中∵D是PC中点F是AC中点∴DF∥PA同理可得EF∥BC∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角)．在△DEF中DE＝3又DF＝eq\f(12)PA＝2EF＝eq\f(12)BC＝eq\r(5)∴DE2＝DF2＋EF2.∴∠DFE＝90°即异面直线PA与BC所成的角为90°.eq\a\vs4\al(求两异面直线所成的角的三个步骤1作：根据所成角的定义用平移法作出异面直线所成的角；)2证：证明作出的角就是要求的角；3计算：求角的值常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角α的取值范围为0°<α≤90°.[变式训练1]如图在正方体ABCD­EFGH中O为侧面ADHE的中心求：(1)BE与CG所成的角．(2)FO与BD所成的角．解：(1)如图因为CG∥BF所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角又在△BEF中∠EBF＝45°所以BE与CG所成的角为45°.(2)如图连接FH因为HD∥EAEA∥FB所以HD∥FB又HD＝FB所以四边形HFBD为平行四边形所以HF∥BD所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HAAF易得FH＝HA＝AF所以△AFH为等边三角形又知O为AH的中点所以∠HFO＝30°即FO与BD所成的角为30°.类型二线线垂直的证明与应用[例2]直三棱柱ABC­A1B1C1中BB1中点为MBC中点为N∠ABC＝120°AB＝2BC＝CC1＝1.证明：AB1⊥MN.[分析]先找到异面直线AB1与MN所成角再利用勾股定理进行证明．[证明]由题得MN∥B1C所以∠AB1C就是异面直线AB1与MN所成角或补角．由题得AC＝eq\r(4＋1－2×2×1×cos\f(2π3))＝eq\r(7)AB1＝eq\r(5)B1C＝eq\r(2)因为(eq\r(2))2＋(eq\r(5))2＝(eq\r(7))2∴∠AB1C＝eq\f(π2)所以AB1⊥MN.证明空间中的异面直线的垂直问题往往先作出异面直线所成的角再利用勾股定理进行证明.[变式训练2]如图在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中侧面都是矩形底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2eq\r(3)∠ABC＝120°若异面直线A1B和AD1相互垂直试求AA1的长．解：连接CD1AC如图．由题意得四棱柱ABCD­A1B1C1D1中A1D1∥BCA1D1＝BC∴四边形A1BCD1是平行四边形∴A1B∥CD1∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角．∵异面直线A1B和AD1相互垂直∴∠AD1C＝90°.∵四棱柱ABCD­A1B1C1D1中AB＝BC＝2eq\r(3)且侧面都是矩形∴△ACD1是等腰直角三角形∴AD1＝eq\f(\r(2)2)AC.∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2eq\r(3)∠ABC＝120°∴AC＝2eq\r(3)×sin60°×2＝6AD1＝eq\f(\r(2)2)AC＝3eq\r(2)∴AA1＝eq\r(AD\o\al(21)－A1D\o\al(21))＝eq\r(3\r(2)2－2\r(3)2)＝eq\r(6).课堂达标练经典1．经过空间一点P作与直线a成60°角的直线这样的直线有(D)A．0条B．1条C．有限条D．无数条解析：这些直线可以是以P为顶点以过点P且平行于a