高中数学 第八章 立体几何初步 8.6.1 直线与直线垂直 8.6.2 直线与平面垂直（第1课时）直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定学案 新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学学案.doc

第1课时直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定考点学习目标核心素养异面直线所成的角会用两条异面直线所成角的定义找出或作出异面直线所成的角会在三角形中求简单的异面直线所成的角直观想象、逻辑推理、数学运算直线与平面垂直的定义理解并掌握直线与平面垂直的定义明确定义中“任意”两字的重要性直观想象直线与平面垂直的判定定理掌握直线与平面垂直的判定定理并能解决有关线面垂直的问题直观想象、逻辑推理问题导学预习教材P146－P150的内容思考以下问题：1．异面直线所成的角的定义是什么？2．异面直线所成的角的范围是什么？3．异面直线垂直的定理是什么？4．直线与平面垂直的定义是什么？5．直线与平面垂直的判定定理是什么？1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线ab经过空间任一点O分别作直线a′∥ab′∥b把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直记作a⊥b．(3)范围：设θ为异面直线a与b所成的角则0°<θ≤90°.■[名师点拨]当两条直线ab相互平行时规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．2．直线与平面垂直定义一般地如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足图示及画法画直线与平面垂直时通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直■名师点拨(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥al⊥ba⊂αb⊂αa∩b＝P⇒l⊥α■名师点拨判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语此处强调“相交”若两条直线平行则直线与平面不一定垂直．判断(正确的打“√”错误的打“×”)(1)异面直线ab所成角的范围为[0°90°]．()(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直那么这条直线与这个平面垂直．()(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直那么这条直线与这个平面垂直．()答案：(1)×(2)×(3)√直线l与平面α内的两条直线都垂直则直线l与平面α的位置关系是()A．平行．垂直C．在平面α内．无法确定答案：D已知直线a∥直线bb⊥平面α则()A．a∥α．a⊂αC．a⊥α．a是α的斜线答案：C在正方体ABCD­A1B1C1D1中AC与BD相交于点O则直线OB1与A1C1所成角的度数为________．解析：连接AB1B1C因为AC∥A1C1所以∠B1OC(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的角．又因为AB1＝B1CO为AC的中点所以B1O⊥AC故∠B1OC＝90°所以OB1与A1C1所成的角的大小为90°.答案：90°异面直线所成的角如图在正方体ABCD­EFGH中O为侧面ADHE的中心．求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．【解】(1)如图因为CG∥BF.所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角又在△BEF中∠EBF＝45°所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH因为HD∥EAEA∥FB所以HD∥FB又HD＝FB所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HAAF易得FH＝HA＝AF所以△AFH为等边三角形又知O为AH的中点所以∠HFO＝30°即FO与BD所成的角为30°.1．[变条件]在本例正方体中若P是平面EFGH的中心其他条件不变求OP和CD所成的角．解：连接EGHF则P为HF的中点连接AFAHOP∥AF又CD∥AB所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角由于△ABF是等腰直角三角形所以∠BAF＝45°故OP与CD所成的角为45°.2．[变条件]在本例正方体中若MN分别是BFCG的中点且AG和BN所成的角为39