(精品)初中数学解题思想方法.pdf

初中数学解题思想方法
2013.1
数学解题思想方法有配方法、换元法、判别式法、待定系数法、消元法。以上是解题技
巧上的思想方法，比它们更具有普遍意义的思想方法有转化与化简思想方法、数学结合思想
方法、归纳猜想、分类讨论、函数与方程思想等。在数学解题过程中我们要养成灵活运用数
学思想方法的意义和习惯。
联想在解题中起着重要的作用，从自己的大脑知识仓库中找出与要解题目接很相似
的原理、方法或结论，变通使用这些知识使问题得以解决。
一、配方法：是指将代数式通过配凑等途径，得到完全平方式或立方式，它广泛应用于
初中数学的各个方面，代数式的化简求值、解方程（组）、求最值等方面。

22
例1、求2x4xy5y4x2y5的最小值。

22
例2、设a，b为实数，求aabba2b的最小值。

例3、在直角坐标中，有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6），已知yaxb上横

222
坐标为0，1，2的点分别为D、E、F，试求：ADBECF的最小值。

2xz
例4、已知x，y，z是实数，且（zx)4(xy)(yz)0，求的值。
2y

2244
例5．已知实数a,b满足ab1，则aabb的最小值为

（）（2012）
19
A．.B．0.C．1.D．.
88
11
例6.已知a<0,动点A(a,a),定点B(1,0),则A,B两点距离AB的最小值为
aa
二、换元思想方法
根据问题的特征或关系适当引进辅助的元素，替换原问题中的数、字母或式子，从而使
原问题得以解决，这种通过引用变量替换来解决问题的思想方法叫做换元思想方法，它是数
学解题的一种基本思想方法，有着广泛的应用。

例7、计算2010201120122013120112

33331
例8、已知a421，求23的值。
aaa

2
（其中m0，n4mq0）
22222
例9、已知是a，b，c，d是满足a+b+c+d+e=8，abcde16的实数，

求e的取值范围。

三、方程思想与函数思想
方程思想是指通过建立方程（组）来解决问题的思想，函数思想是指通过建立函数关系
来解决问题的思想，由于方程和函数关系密切，它们都是含有未知数的等式，它们之间可以
相互转化。
xyxy
例10、若实数x,y满足23331，33331，则xy______
34365456

例11、已知实数a,b,c满足a+b+c=2,abc=4，（1）求a,b,c中最大者的最小值；（2）求

abc的最小值。

例12．已知m,n,p为正整数，mn．设A(m,0)，B(n,0)，C(0,p)，O为坐标

222
原点．若ACB90，且OAOBOC3(OAOBOC)．

（1）证明：mnp3；

（2）求图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式．（2011）

2
例12、已知是实数，若a,b,是关于的一元二次方程，x2xt10的两个非负

22
实根，求（a1）（b1）的最小值。

22222
例13、设a，b，c，d都是不为零的实数，且（ab）dbc2（a+c）bd，

2
求b-ac的值。

2
例14．已知二次函数yxaxb的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，

且mn1.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则pq____
四、数形结合思想方法
就是把抽象的数量关系和直观的几何图形有机地结合起来，“以形易数”“用数解形”两
个方面，它体现了数学的和谐美、统一美。

例15、若xax1有一个负根，而没有正根，求实数a的取值范围。

22
例16、求x16x16x68的最小值以及取得最小值时x的值。

22
例17、当1x2时，函数y2x4axa2a2有最小值，求a所有可能

取的值。

例18、方程（xx1）k0有三个不相等的实根，则k的取值范围____________

2
例19设关于x的方程x1xa有两个正数解，则a的取值范围是

五、特值法
特值法就是根据题设条件取一些特殊值（或特殊图形或特殊位置、特殊点等）然后探求
出结论或满足结论所需要的部分条件，是解答选择题、填空题的一种有效方法。
例20、当n为任意实数，k为某一特定整数时，等式n（n+1）（n+2）（n+3）

22
+1（nkn1），则k=____________

例21、如图,在矩形ABCD中，AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF
⊥AC，E、F分别是垂足，求PE+PF。

2
例22、已知，不论a取何值，函数yax（3a1）x10a3的图象恒过两点，

试求这两点的坐标。

2
例23.(1)证明:若x取任意整数时，二次函数yaxbxc总取整数值，那么2a,a-b,c

都是整数.
(2)判断上述命题的逆命题的真假并证明你的结论

六、分类讨论思想方法
分类