变化率与导数导数的计算含解析.docx

第十一节变化率与导数、导数的计算

[知识能否忆起]
一、导数的概念
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义：
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)为f(x)的导函数．
二、基本初等函数的导数公式
原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)
三、导数的运算法则
1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
3.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
(理)4.复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[小题能否全取]
1.函数求导的原则
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系
(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．
(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

利用导数的定义求函数的导数
典题导入
[例1]用定义法求下列函数的导数．
(1)y＝x2；(2)y＝eq\f(4,x2).
[自主解答](1)因为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)
＝eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)
＝eq\f(x2＋2x·Δx＋Δx2－x2,Δx)＝2x＋Δx，
所以y′＝eq\o(lim,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(,Δx→0))(2x＋Δx)＝2x.
(2)因为Δy＝eq\f(4,x＋Δx2)－eq\f(4,x2)＝－eq\f(4Δx2x＋Δx,x2x＋Δx2)，
eq\f(Δy,Δx)＝－4·eq\f(2x＋Δx,x2x＋Δx2)，
所以eq\o(lim,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(,Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4·\f(2x＋Δx,x2x＋Δx2)))＝－eq\f(8,x3).
由题悟法
根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤
(1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；
(3)计算导数f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).
以题试法
1．一质点运动的方程为s＝8－3t2.
(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均