高考数学课标版-文科一轮复习专题-函数与方程.pptx

第二章函数考点一函数零点与方程的根
1.函数零点的定义
(1)对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.
(2)方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
2.函数零点的判定
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是f(x)=0的根.我们把这一结论称为零点存在性定理.考点二二分法
1.对于在区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,从而得到零点近似值的方法,叫做二分法.
2.用二分法求函数零点的近似值的步骤
第一步:确定区间[a,b],验证:f(a)·f(b)<0,给定精确度ε.
第二步:求区间(a,b)的中点x1.
第三步:计算f(x1).
(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;
(2)若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1;
(3)若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1.第四步:判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b),否则重复第二、三、四步.
知识拓展
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的零点分布
在研究二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的零点分布问题时,常借助二次函数的图象来解,一般从四个方面分析:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号.
研究二次函数零点的分布,一般情况下需要从以下三个方面考虑:
①一元二次方程根的判别式;
②对应二次函数区间端点函数值的正负;
③对应二次函数图象的对称轴x=- 与区间端点的位置关系.设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实根,则x1,x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表:判断函数零点所在区间和零点的个数的方法
1.判断函数零点所在区间的常用方法
(1)零点存在性定理:使用条件是函数图象是连续的.
(2)数形结合法:画出函数的图象,用估算确定区间.
2.判断函数零点个数的常用方法
(1)解方程法:令f(x)=0,如果有解,则有几个解就有几个零点.
(2)函数零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上的图象是连续的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.
(3)数形结合法:转化为两个函数图象的交点的个数问题,有几个交点就有几个不同的零点.例1(2017河北唐山高三摸底考试,8)设x0是方程 = 的解,则x0所在
的范围是 (B)
A. B. C. D. 解析构造函数f(x)= - ,
因为f(0)= - =1>0,
f = - = - >0,f = - = - <0,所以由零点
存在性定理可得函数f(x)= - 在 上存在零点,即x0∈ .故
选B.函数零点的应用
已知函数有零点(方程有根),求参数的值或取值范围常用的方法和思路:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数最值问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.
例2(2016宁夏育才中学第四次月考,12)已知函数f(x)= (a∈
R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是 (D)
A.(-∞,-1)B.(-∞,0)C.(-1,0)D.[-1,0)解题导引
x>0,f(x)=0有一个解 x≤0,ex=-a有且仅有一个解 a的取值范围