高考数学课标版-文科一轮复习专题-导数的应用.pptx

第三章导数及其应用考点导数的应用
1.函数的单调性
对于在(a,b)内的可导函数f(x),若f'(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,则
f'(x)≥0⇔f(x)为增函数,区间(a,b)为函数f(x)的增区间;
f'(x)≤0⇔f(x)为减函数,区间(a,b)为函数f(x)的减区间.
2.函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,
(i)如果在x0的左侧附近f'(x)>0,右侧附近f'(x)<0,那么f(x0)是极大值;
(ii)如果在x0的左侧附近f'(x)<0,右侧附近f'(x)>0,那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤
(i)求f'(x);
(ii)求方程f'(x)=0的根;
(iii)检查f‘(x)在方程f’(x)=0的根的左、右值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
3.函数的最值
(1)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
(2)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:
(i)求f(x)在(a,b)内的极值;
(ii)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
(3)如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么函数y=f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值,函数的最大值和最小值一定产生在极值点或闭区间的端点处.
知识拓展
1.f'(x)>0是f(x)在(a,b)上为增函数的充分不必要条件,同理,f'(x)<0是f(x)在(a,b)上为减函数的充分不必要条件,例如,f(x)=x3在R上单调递增,但f'(0)=0.2.对可导函数而言,极值点处的导数值一定为0,但导数为0的点不一定是极值点.例如,f(x)=x3,当x=0时,f'(0)=0,但x=0不是极值点,因此判断极值一般用定义法.
3.极值与最值的区别
极值是局部概念,是针对x=x0附近的值而言的,最值是整体概念,是针对整个定义域而言的.利用导数研究函数的单调性
确定函数单调性的基本步骤
①确定函数f(x)的定义域.
②求导数f'(x).
③由f'(x)>0(或f'(x)<0),解出相应的x的取值范围.当f'(x)>0时,f(x)在相应区间上是单调递增函数;当f'(x)<0时,f(x)在相应区间上是单调递减函数.还可以通过列表写出函数的单调区间.解析(1)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).
(i)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f‘(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f’(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. (2分)
(ii)设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).
①若a=- ,则f'(x)=(x-1)(ex-e),所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
②若a>- ,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(ln
(-2a),1)时,f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),1)上单调递减. (4分)
③若a<- ,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0;
当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)上单调递增,
在(1,ln(-2a))上单调递减. (6分)
(2)(i)设a>0,则由(1)知,f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b<ln ,
则f(b)> (b-2)+a(b-1)2=a >0,
所以f(x)有两个零点. (8分)
(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一个零点. (9分)
(iii)设a<0,若a≥- ,则由(1)知,f(x)在(1,+∞)上单调递增,
又当x≤1时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点; (10分)
若a<- ,则由(1)知,f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减,在(ln(-2a),+∞)上单调递增,
又当x≤1时,f(x)<0,
故f(x)不存在两个零点. (11分)
综上,a的取值范围为(0,+∞). (12分)利用导数研究函数的极值与最值
1.解决函数极值问题的一般思路
 例2(2015课标Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)