高等数学多元函数微分学习题集锦.pdf

第七章多元函数微分法及其应用

习题课
一、主要内容

二、典型例题

三、作业
一、主要内容

平面点集平面点集
多元函数概念多元函数概念
和区域和区域
多元函数多元函数
极限运算
极限运算的极限的极限

多元连续函数多元连续函数多元函数多元函数
的性质的性质连续的概念连续的概念

第七章、多元函数微分法习题课
全微分全微分全微分全微分
方向导数方向导数
概念概念的应用的应用

复合函数复合函数
高阶偏导数高阶偏导数
求导法则求导法则
偏导数偏导数
全微分形式全微分形式概念概念隐函数隐函数
的不变性的不变性求导法则求导法则

多元函数的极值微分法在微分法在
多元函数的极值几何上的应用几何上的应用

第七章、多元函数微分法习题课
多元函数连续、可导、可微的关系

函数连续函数可偏导方向导数存在

函数可微

偏导数连续

第七章、多元函数微分法习题课
二、典型例题
()y−xx
例1求极限lim.
x→022
y→0x+y
解令cosx=ρ,θy=ρsinθρ,>(0)
(则,x)y→(0,等价于0)ρ→0.
y()−x(sinρx2θ−cosθ)θcos
0≤=
x2+y2ρ
(sin=ρθ−cosθ)θ≤2cosρ,
()y−xx
故lim=0.
x→022
y→0x+y

第七章、多元函数微分法习题课
例2设
⎪⎧axyx222−−==,0或y0
fxy(,)=⎨，
⎩⎪0,其它

其中a>0，求fxy(0,0),f(0,0).
(,f0Δx)−f(0,0)
(解0f,x0)=lim
Δx→0Δxz
axa22−Δ−
=lim
Δ→x0Δx
−()Δx2•x
=lim=0O
Δ→x0Δ−Δ+xa()22xaf=0
y

同理可得：fy(0,0)=0.

第七章、多元函数微分法习题课
⎪⎧axyx222−−==,0或y0
fxy(,)=⎨，
⎩⎪0,其它

但极限limf(xy,)不存在，因点P沿
(,)xy→(0,0)
直线y=≠kx(0)k趋于(0,0)时，f(,)xy=0
→0，而点P沿轴趋于x(0,0)时，f(,)xy

22所以limf(xy,)不存在，
=−→axa,(,)xy→(0,0)
从而f(,)xy在(0,0)不连续。

。
第七章、多元函数微分法习题课
例3.设ufxyz=(,,)有二阶连续偏导数,且
∂∂uu2
z=xt2sin,txy=ln(+),求,.
∂x∂∂xy
x
解:uy
zxx
ty

∂u21
=f′+f′⋅(2xsint+xcost⋅)
∂x13x+y
x

f1'f3'y
zxx
ty

第七章、多元函数微分法习题课
y
例4z设=x(3f,xy),f(具有二阶连续偏导数)，
x
∂z∂2z∂2z
求,,.
∂y∂y2∂x∂y
x
∂z⎛1⎞xy
解=+xfxf3′′
⎜12⎟f′′y
∂y⎝x⎠12y
42x
x=f1′+x2′,f
2
∂z4⎛⎞12⎛1⎞
=x⋅⎜⎟fx11′′+f12′′+x⋅⎜fx21′′′′+f22⎟
∂y2⎝⎠x⎝x⎠
53
x=f11′′+2x12f′′+22′′x,f

第七章、多元函数微分法习题课
xyx
∂z42
f12′,f′y=+xfxf′′,
y∂y12
x
∂2z∂2z∂
==x(4f′+x2′)f
∂x∂y∂y∂x∂x12
⎛⎞⎛⎞y
34′′′′′
=+⋅4xfx′⎜⎟fy11+f12⎜⎟−+22xf2
1⎝⎠⎝⎠x
⎛y⎞
2′′′′⎛⎞
++−xfyf⎜2122⎜⎟2⎟
⎝⎝⎠x⎠

34
x=f41′x+f22′+x11′y′−f22′′.yf

第七章、多元函数微分法习题课
例5u(f设,x=,y),z(ϕ,x2,ye)=z0=,ysinx,
∂ϕdu
(,fϕ具有一阶连续偏导数)，且≠0求,.
∂zdx
du∂f∂fdy∂fdzdy
解=+⋅+,显然=cosx,
dx∂x∂ydx∂zdxdx
dz
求,对(ϕx,2ey,)z=两边求0x的导数,得
dxdydz
ϕ⋅′2x+ϕ⋅′ey+ϕ′=0,
12dx3dx
dz1sinx
于是=−(x2ϕ1′+ecos⋅ϕx2′),
dxϕ3′

du∂f∂f1sinx∂f
故=+cosx−(x2ϕ1′+ecos⋅ϕx2′).
dx∂x∂yϕ3′∂z

第七章、多元函数微分法习题课
⎧ufxy=(,),
⎪
例6设函数ux()由方程组⎨gxyz(,,)=0,所确定，
⎪
⎩hxz(,)=0.
∂∂ghdu
且试≠≠0,0,求.
∂∂yzdx
解法1方程组各方程两边对x求导,得
dudy
⎧=+ff,(1)
⎪dxxydx
⎪dydz
⎨ggxy+⋅+⋅gz=0,(2)
dxdx
⎪dz
⎪hh+⋅=0.(3)
⎩xzdx
将方程组的变元以及,z