高等数学下96多元函数微分学的几何应用.pdf

§6.多元函数微分学的几何应用

一、空间曲线的切线与法平面
x(t)

设空间曲线的方程y(t)(1)

z(t)
(1)式中的三个函数均可导.z
M

M(,,),xyz000tt0;

ttt.M
0oy
M(,,)x000xyyzzx
一、空间曲线的切线与法平面

x(t)

设空间曲线的方程y(t)(1)z
M

z(t)
(1)式中的三个函数均可导.
M
oy
M(,,),xyz000tt0;x


Mx(,,),000xyyzztt0t.

xxyy0zz
割线MM的方程为00
xyz
一、空间曲线的切线与法平面xt()

y()t
xxyyzz
割线MM的方程为000z()t
xyz
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
zM
上式分母同除以t,

xx0yy0zz0
,M
xyzoy
tttx
xyz
割线的方向向量T,,,
ttt
当时MM，t0,割线的极限位置


切线的方向向量T((),(),()),ttt000
z
一、空间曲线的切线与法平面M
x(t)

设空间曲线的方程:y(t)(1)M
oy
z(t)x
设M(x0,y0,z0),对应于tt0;


切线的方向向量T((t0),(t0),(t0)),
xxyyzz
000.
曲线在M处的切线方程
()t0()t0()t0
切向量P38切线的方向向量称为曲线的切向量.


T(),(),()ttt000
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
法平面方程为：

(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0
xxyyzz
xt()y()tz()t000.
(t0)(t0)(t0)
(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0
t
例1求曲线:xeucosudu，y2sint
0
cost,z1e3t在t0处的切线和法平面方程.
解当t0时，xyz0，，12
xettcos,y2costtsin,z3,e3t
x(0)1,y(0)2,z(0)3,
x0y1z2
切线方程,
123
法平面方程x2(y1)3(z2)0,
即x2y3z80.
z
一、空间曲线的切线与法平面M

x(t)M
设空间曲线的方程oy
y(t)(1)x

z(t)

切线的方向向量
T((t0),(t0),(t0)),
xxyyzz
000.
曲线在M处的切线方程
()t0()t0()t0
y()x
情形1.空间曲线方程为,
z()x
可视为参数方程xxyφ(),xzψ()x



在M(x0,y0,z0)处,T(1,(xx00),()),
一、空间曲线的切线与法平面xtytzt()()()
特殊地：
y()x
情形1.空间曲线方程为,
z()x
可视为参数方程xx,yφ(x),zψ(x)

在M(x0,y0,z0)处,

切线的方向向量T(1,(xx00),()),
xxyyzz
切线方程000,
1()x0()x0
法平面方程

(xx00000)()(xyy)()(xzz)0.
一、空间曲线的切线与法平面xtytzt()()()

y(x)
特殊地：情形1.空间曲线方程为,
z(x)
yy
切线方程xx00zz0
在M(x0,y0,z0)处,,

1()x0()x0
情形2.空间曲线方程为F(x,y,z)0
,
G(x,y,z)0
视x为自变量,方程组确定的隐函数为y=y(x),z=z(x),
FFdyFdz
0
xydxzdxdydz
T*1,,
GGdyGdzdxdx
0
xydxzdx
情形2.空间曲线方程为F(x,y,z)0
,
G(x,y,z)0
视x为自变量,方程组确定的隐函数为y=y(x),z=z(x),

FFdyFdz
0dydz
xydxzdxT*1,,
dxdx
GGdyGdz
0