（浙江专用）高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第3讲 空间向量与立体几何专题强化训练-人教版高三全册数学试题.doc

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第3讲空间向量与立体几何
专题强化训练
1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为CD和C1C的中点，则直线AE与D1F所成角的余弦值为()

A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,5)
C.eq\f(3,5) D.eq\f(3,7)
解析：选B.以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)．若棱长为2，则A(2，0，0)、E(0，1，0)、D1(0，0，2)、F(0，2，1)．
所以eq\o(EA,\s\up6(→))＝(2，－1，0)，eq\o(D1F,\s\up6(→))＝(0，2，－1)，
cos〈eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(D1F,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(EA,\s\up6(→))·\o(D1F,\s\up6(→)),|\o(EA,\s\up6(→))||\o(D1F,\s\up6(→))|)＝eq\f(－2,\r(5)·\r(5))＝－eq\f(2,5).
则直线AE与D1F所成角的余弦值为eq\f(2,5).
2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()
A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)
C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(2),2)
解析：选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))，
D(0，1，0)，
所以eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(0，1，－1)，
eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，－\f(1,2)))，
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－z＝0，,1－\f(1,2)z＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2，,z＝2.))
所以n1＝(1，2，2)．
因为平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，
所以cos〈n1，n2〉＝eq\f(2,3×1)＝eq\f(2,3).
即所成的锐二面角的余弦值为eq\f(2,3).
3．(2019·浙江省十校联合体期末联考)在三棱锥O­ABC中，已知OA，OB，OC两两垂直且相等，点P、Q分别是线段BC和OA上的动点，且满足BP≤eq\f(1,2)BC，AQ≥eq\f(1,2)AO，则PQ和OB所成角的余弦的取值范围是()
A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))
C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(2\r(5),5))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(2\r(5),5)))
解析：选B.根据题意，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设OA＝OB＝OC＝2，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，0，0)，设
P(x，y，0)，Q(0，0，z)，因为BP≤eq\f(1,2)BC，AQ≥eq\f(1,2)AO，所以1≤x≤2，0≤y≤1且x＋y＝2，0≤z≤1，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(－x，x－2，z)，|cos〈eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(PQ,\s\up6(→))〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(OB,\s\up6(→))·\o(PQ,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OB,\s\up6(→))|·|\o(PQ,\s\up6(→))|))))
＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－x,\r(2x2－4x＋4＋z2))))，
当x＝1，z＝1时，|cos〈eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(PQ,\s\up6(→))〉|＝eq\f(\r(3),3)；
当x＝2，z＝1时，|cos〈eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(PQ,\s\up6(→))〉