1.2.1平面的基本性质与推论.doc

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1.2.1平面的基本性质与推论
背景知识激趣
世界上最早的几何学论著
墨翟生活在孔子之后孟子之前的春秋战国之交的时代，他一方面从事生产劳动，另一方面，他刻苦学习，勤于思考，在当时的社会上享有很高的学术威望.墨翟与当时一些志同道合者以及他的学生组成了墨子学派，他成为墨子学派的代表人物。因此，墨翟也被称为墨子，墨子学派在当时发表了许多学术观点，这些观点都用竹简记录下来，成为墨子学派的代表作———《墨经》。
《墨经》成书的时代比著名的欧几里德《原本》早，其中记录了许多有关几何的论述，可以说，《墨经》是世界上最早的几何学论著。让我们来看看《墨经》中有关几何的例子，通过这些例子，可以看出《墨经》中对几何学的见解是多么高明与精辟！
《经上》“平，同高也”，用现在的话说，就是“所谓平行线（或面），是两条（个）在每一处距离（高）都相等的直线（或平面）”，平面几何中有“平行线间的距离处处相等”就是所谓的“同高”。
《经上》“直，参也”，用现在的话说，就是“直线，通过三点”，古字参通叁，换句话说就是“三点在同一条直线上”。
《经上》“圜，一中同长也”，用现在的话说，就是“圆（或球），有一个中心，且每一点到这个中心的距离相等”。
《经上》“中，同长也”，用现在的话说，就是“线段的中点到线段两端的距离相等”。
以上仅举数例，可以看出《墨经》中的有关几何论述几乎同现代几何学观点一样。

课程学习目标
［课程目标］
目标重点：平面的基本性质与推论以及他们的应用.
目标难点：文字语言、数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用.

［学法关键］
本节的学习要注意正确地作图，恰当地作图有利于培养同学们的空间想象能力，在平面几何中，辅助线一般要画成虚线.而立体几何中则不同，一般是将看不见的线画成虚线，与它是否是辅助线无关"

研习教材重难点
研习点1．平面的基本性质：
1．公理1：
①文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内；
②图形语言：
③符号语言：A∈l；B∈l，A∈α，B∈α，ABα.
公理1的作用有两个：（1）作为判断和证明直线是否在平面内的依据，在学习公理1之前，判断直线是否在平面内，要看直线上所有的点是否在平面内，公理1则简化了判断证明过程，只需要看是否有两个点在平面内就可以了；
（2）公理1可以用来检验某一个面是否为平面，检验的方法为：把一条直线在面内旋转，固定两个点在面内后，如果其他点也在面内，则该面为平面。

【联想·质疑】
如何理解公理1？
1．公理1研究直线和平面的关系，它既可以用于判定直线是否在平面内，又可以用于检验平面是否经过直线，也是画两个平面的依据。
2．公理1的条件是“线上两点在平面内”，它是公理1的必需条件，结论是“线上所有点都在平面内；
3．从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集。这个结论阐述两个观点，一是整个直线在平面内，二是直线上所有点都在平面内。

2．公理2：
①文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以说成不共线的三点确定一个平面。
②图形语言：
③符号语言：A、B、C三点不共线有且只有一个平面α，使得A∈α，B∈α，C∈α

【推广·引申】
不共线的三点确定平面，那么两点呢？不共线的四点呢，更多的点呢？
过两点的平面显然有无数个，而不共线的四点则可能确定一个平面（如矩形四个顶
点），也可能不在同一个平面内，如空间四边形四个顶点，更多的点也同四个点的情况一样，因此公理2中要突出“不共线”和“三点”.
公理2主要有下面一些作用：（1）说明过不共线三点存在平面.（2）说明过不共线的三点只有一个平面.（3）判断三点是否共线.（4）判断一个图形是否为平面图形.
实际生活中经常应用公理2解决一些问题，比如房门一般用两个门纽和一把锁固定等.

【联想·质疑】
如何理解公理2？
1.公理2是确定平面的条件，也是证明两个平面重合的依据.
2.确定平面的条件是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，也为证明直线共面问题提供了依据.
3.深刻理解“有且只有”的含义，这里的“有”是说平面存在，“只有”是说平面惟一，
“有且只有”强调平面存在并且惟一这两方面.

3.公理3：
①文字语言：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
②图形语言：
③符号语言：P∈(α∩β)α∩β=l，P∈l.

【联想·质疑】
如何理解公理3？
1.公理3反映了平面与平面的位置关系，只要“两面共一点”，就有“两面共一线，且过这一点，线惟一”.
2.从集合的角度看，对于不重合的两个平面，只要他们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条