高中数学 第三章 概率 3.1.4 概率的加法公式学案（含解析）新人教B版必修3-新人教B版高一必修3数学学案.docx

3.1.4概率的加法公式
学习目标1.理解互斥事件与对立事件的区别与联系.2.会用互斥事件的概率加法公式求概率.3.会用对立事件的概率公式求概率．

知识点一事件的运算
思考一粒骰子掷一次，记事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，当事件C，D都发生时，掷出的点数是多少？事件C，D至少有一个发生时呢？
答案事件C，D都发生，即掷出的点数为偶数且小于3，故此时掷出的点数为2.事件C，D至少有一个发生，掷出的点数可以是1,2,4,6.
梳理事件的并
一般地，由事件A和B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件C，称为事件A与B的并(或和)．记作C＝A∪B.事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件所组成的集合．如图中阴影部分所表示的就是A∪B.

知识点二互斥与对立的概念
思考一粒骰子掷一次，事件E＝{出现的点数为3}，事件F＝{出现的点数大于3}，事件G＝{出现的点数小于4}，则E与F是什么事件？G与F是什么事件？
答案∵E，F不能同时发生，∴E与F是互斥事件但不是对立事件．
∵G，F不能同时发生，且G，F必有一个发生，∴G与F既是互斥事件又是对立事件．
梳理
1．互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件)．
2．对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A的对立事件记作eq\x\to(A).由于A与eq\x\to(A)是互斥事件，所以P(Ω)＝P(A∪eq\x\to(A))＝P(A)＋P(eq\x\to(A))，又由Ω是必然事件，得到P(Ω)＝1.所以P(A)＋P(eq\x\to(A))＝1，即P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．
知识点三概率的基本性质
思考概率的取值范围是什么？为什么？
答案概率的取值范围是0～1之间，即0≤P(A)≤1；由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，因而概率的取值范围也在0～1之间．
梳理概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围为[0,1]．
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
(3)互斥事件的概率加法公式
①假定A，B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥(彼此互斥)，那么事件“A1∪A2∪…∪An”发生(是指事件A1，A2，…，An中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率和，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

1．若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．(×)
2．若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．(√)
3．若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.(√)

题型一事件关系的判断
例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
解(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
反思与感悟(1)不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件．
(2)事件的包含关系与集合的包含关系相似，不可能事件与空集相似，学习时要注意类比记忆．
(3)事件A也包含于事件A，即A⊆A.
(4)两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件，相等的事件A，B总是同时发生或同时不发生．
跟踪训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有两个红球
答案D
解析根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“3个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事